1.3.1  真值与机器数

上述讨论的过程中都没有考虑二进制数的符号，一般认为其为正数，但在算术运算过程中，总会出现负数。实际上不带符号的数是数的绝对值，在绝对值前加上表示正负的符号(+/- )就成了带符号数。它可由两部分组成：一部分是表示数的符号，另一部分是表示数的数值。由于数的符号是一个具有正、负两种值的离散信息，所以它可以用一位二进制数来表示。通常是以0表示正数，以1表示负数。对于一个n位二进制数，如果数的第一位为符号位，那么余下的n-1位就表示数的数值部分。

一般，直接用正号“+”和负号“-”来表示符号的二进制数,称为符号数的真值。数的真值形式是一种原始形式，无法直接用在数字计算机中。但是，当将符号数值化之后，便可以在计算机中使用它了。因此在计算机中使用的符号数便称为机器数。

如二进制正数+1011在机器中的表示为01011，二进制负数-1011在机器中的表示为11011。

通过前面介绍的二进制数的加、减、乘、除四种运算可知，乘法运算实际上是做左移加法运算，而除法运算则是做右移位减法运算。即在机器中只需要做加、减两种运算。但在做减法运算时，必须先比较两个数绝对值的大小，再将绝对值大的数减绝对值小的数，最后在相减结果的前面加上绝对值较大的数的符号。因此,虽然逻辑电路可以实现减法运算，但所需的电路复杂，运算速度较作加法慢得多。为了能使减法运算变成加法运算，人们给出了三种机器数的表示形式，即原码、反码和补码。

1.3.2  原码

原码又被称为“符号—数值表示”。用当原码形式表示正数和负数的，第1位是符号位。对于正数，符号位表示的0，对于负数，符号位表示的1，其余各位表示数值部分。

假如两个带符号的二进制数分别为S1和S2，其真值形式为

S1= +11001    S2= -01011

则S1和S2的原码表示形式为

[S1]原= 011001    [S2]原= 101011

根据上述原码形成规则，一个n位的整数S (包括一位符号位)的原码一般表达式为

              (1.3.1)

对于定点小数而言，一般将小数点定在最高位的左边，此时，数值小于1。定点小数原码一般表达式为

                  (1.3.2)

由原码的一般表达式中可以得出：

(1 )当S为正数时，[S]原和S的区别只是增加一位用0表示的符号位。由于在数的左边增加一位0对该数的数值并无影响，所以[S]原就是S本身。

(2 )当S为负数时，[S]原和S的区别是增加了一位用1表示的符号位。

(3 )在原码表示中，有两种不同形式的0，即

[+0]原= 0.00…0

[- 0]原= 1.00…0

1.3.3  反码

反码又称为“对1的补数”。当用反码表示时，左边第1位即为符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数。对于正数，反码和原码相同。而对于负数，反码的数值是将原码数值按位求反，即原码的某位为1，则反码的相应位便为0，或者原码的某位为0，反码的相应位便为1。所以，反码数值的形成与它的符号位有关。

假如两个带符号的二进制数分别为S1和S2，其真值形式为

S1= +1l001   S2= -01011

则S1和S2的反码表示形式为

[S1]反= 011001    [S2]反= 110100

根据上述的反码形成规则，一个n位的整数S (包括一位符号位)的反码一般表达式为

                   (1.3.3)

同样，对于定点小数，如果小数部分的位数为m，则它的反码一般表达式为

                      (1.3.4)

从反码的一般表达式可以看出：

(1 )正数S的反码[S]反与原码[S]原相同。

(2 )对于负数S，其反码[S]反的符号位为1，数值部分是将原码数值按位求反。

(3 )在反码表达式中，0的表示有两种不同的形式，即

[+0]反= 0.00…0

[-0]反= 1.11…1

1. 3. 4  补码

补码又称为“对2的补数”。在补码表示方法中，正数的表示同原码和反码的表示是一样的，而负数的表示却不相同。对于负数，将原码转变成补码的规则是：符号位不变，仍为l，数值部分变反加1，即逐位变反，在最低位加1。

如两个带符号的二进制数分别为S1和S2，其真值表达式为

S1= +11001      S2= -01011

则S1和S2的补码表示形式为

[S1]补= 011001    [S2]补= 110101

根据上述补码形成规则，一个n位的整数S (包括一位符号位)的补码一般表达式为

                    (1.3.5)

同样，对于定点小数，补码一般表达式可写成

                         (1.3.6)

由补码的一般表达式可以看出：

(1 )正数S的补码[S]补、反码[S]反和原码[S]原是相同的

(2 )对于负数，补码[S]补的符号位为1，其数值部分为反码的数值末位加1。

(3 )在补码表示法中，0的表示形式是唯一的。即

[+0]补= 0.00…0

[-0]补= 0.00…0

1. 3. 5  机器数的运算

前面介绍了带符号数的三种表示法，由于形成规则不同，加、减运算的规律也不相同。下面分别加以介绍。

一、原码运算

原码中的符号位仅用来表示数的正、负，不参加运算。进行运算的只是数值部分。原码运算时，应首先比较两个数的符号，若两数的符号相同，则可将两个数的数值相加，最后给结果附上相应的符号；若两数的符号不同，则需比较两数的数值大小，然后将数值较大的数减去数值较小的数，并将数值较大的数的符号作为最后结果的符号。下面举例说明。

例1.3.1  已知S1=  0.1001,S2= -0.0101，求[S2+S1  ]原和[S2-S1]原。

解:    [S2+S1]原= [ (-0.0101 )+ (0.1001 )]原

由于S1和S2的符号不同，并且的S1绝对值大于S2的绝对值，因此要进行S1减S2的运算，其结果为正。

运算结果为原码，即

[S2+S1]原= 0.0100

故其真值为

S2+S1= 0.0100

又     [S2-S1]原= [ (-0.0101 )- (0.1001 )]原

由于S1和S2的符号相同，因此，实际上要进行Sl加S2的运算，其结果为负。

运算结果为原码，即

[S2-S1]原= 1.1101

故其真值为

S2-S1 = -0.1101

二、反码运算

由反码的定义可以得到反码加、减运算规则如下：

[S2+S1]反= [S2]反+[S1]反

[S2-S1]反= [S2]反+[-S1]反

反码的加、减运算规则表明:两数和的反码等于两数的反码之和，而两数差的反码也可以用加法来实现。运算时，符号位和数值位一样参加运算，如果符号位产生进位，则需将此进位加到和数的最低位，称之为“循环进位”。运算结果的符号位为0时，说明是正数的反码，与原码相同；运算结果的符号位为1时，说明是负数的反码，应再对运算结果求反码，才得到原码。下面举例说明。

例1.3.2  已知S1=  0.1001,S2= -0.0101，求[S2+S1]反和[S2-S1]反。

解：  [S2+S1]反= [S2]反+ [S1]反=  1.1010+0.1001

由于符号位产生了进位，因此要进行“循环进位”，即

[S2+S1]反=  0.0100

由于其符号位为0,则其真值为S2+S1=  0.0100

又  [S2-S1]反=  [S2]反+ [-S1]反=  1.1010+1.0110

由于符号位产生了进位，因此要进行“循环进位”，即

[S2-S1]反=  1.0001

由于其符号位为1,则其真值为S2-S1=  -0.1110

三、补码运算

补码运算同反码运算一样，两数差的补码可以用两数补码的加法来实现。补码加、减运算规则是：

[S2+S1]补=  [S2]补+[S1]补

[S2-S1]补=  [S2]补+[-S1]补

运算时，符号位和数值位一样参加运算，如果符号位产生了进位，则此进位可“略去”。运算结果符号位为0时，说明是正数的补码，与原码相同。运算结果符号位为l，说明是负数的补码，应对结果再求补码才得原码。

下面举例说明。

例1.3.3 已知S1=  0.1001,S2=  -0.0101，求[S2+S1]补和[S2-S1]补。

解：  [S2+S1]补=  [S2]补+[S1]补=  1.1011+0.1001

由于符号位产生了进位，因此，要将此进位略去，即

[S2+S1]补=  0.0100

运算结果的符号位为0，说明是正数的补码，补码与原码相同。

由于其符号位为0,则其真值为

S2+S1=  0.0100

又   [S2-S1]补=  [S2]补+[-S1]补=  1.1011+1.0111

由于符号位产生了进位，因此，要将此进位略去，即

[S2-S1]补=  1.0010

运算结果的符号位为1，说明是负数的补码，应对补码求补后才能得到原码，即

[S2-S1]原=  1.1110

由于其符号位为1,则其真值为

S2-S1= -0.1110

从上述的讨论可以看出，原码、反码和补码各有优缺点。原码表示法简单方便，但原码减法必须做真正的减法，不能用加法来代替，因此实现原码运算所需的逻辑电路比较复杂。反码和补码的优点是只需用加法逻辑电路便可实现。并且用补码进行减法运算很方便，它只需进行一次算术相加。而用反码进行减法运算，若符号位产生进位就需进行两次算术相加。而且反码还有一个缺点，就是具有两个零值，这容易在计算过程中产生歧意。