线性代数学习笔记（二）—

通过分析三阶行列式每项的符号与列标排列、逆序数和奇偶性的关系，推广得到n阶行列式的第一种定义（按行展开）。然后分析了几种特殊的行列式：下三角行列式、上三角行列式、对角型行列式以及对应三种“山寨版”的行列式，并讨论了这些特殊行列式的值和每个展开项的符号。最后给出了行列式的第二种定义（按列展开）和第三种定义（即不按行，也不按列展开），并分析了此种定义下行列式的值和每个展开项的符号。

1 三阶行列式回顾

在上一篇博客中提到三阶行列式和对应值如下所示：
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32

可以看到所有6项（3项正数和3项负数）中，行标的排列均为：123123123，即行标取标准排列；而列标的排列分别为：123、231、312、321、213、132123、231、312、321、213、132123、231、312、321、213、132，即列标取3级排列的所有可能（3!3!3!）。每项值的符号与对应列标排列逆序数的奇偶性的关系如下表所示：

序号	每项的值	列标的排列	逆序数	奇偶性	符号
1	a11a22a33a_{11}a_{22}a_{33}a11a22a33	123	0	偶	正
2	a12a23a31a_{12}a_{23}a_{31}a12a23a31	231	2	偶	正
3	a13a21a32a_{13}a_{21}a_{32}a13a21a32	312	2	偶	正
4	−a13a22a31-a_{13}a_{22}a_{31}−a13a22a31	321	3	奇	负
5	−a12a21a33-a_{12}a_{21}a_{33}−a12a21a33	213	1	奇	负
6	−a11a23a32-a_{11}a_{23}a_{32}−a11a23a32	132	1	奇	负

从上表可以看出，行列式的值为：取不同行不同列取出3个元素相乘，符号由列标的奇偶性决定（奇排列对应负号，偶排列对应正号）。

2 n阶行列式

由3阶行列式可以直接推广到n阶行列式：
∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=∑j1j2⋯jn(−1)N(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn\begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=\sum_{j_1j_2{\cdots}j_n}(-1)^{N(j_1j_2{\cdots}j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}{\cdots}a_{nj_n}∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∑j1j2⋯jn(−1)N(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn

第一种定义（按行展开）：从不同行不同列取n个元素相乘，行标取标准排列，列标取n级排列的所有可能，符号由列标的奇偶性决定，一共有n!n!n!项。

行列式一般使用大写字母DDD来表示，上式可表示为：D=∣aij∣D=|a_{ij}|D=∣aij∣。特别的，一阶行列式∣a11∣=a11|a_{11}|=a_{11}∣a11∣=a11，例如：∣8∣=8|8|=8∣8∣=8，∣−1∣=−1|-1|=-1∣−1∣=−1。n阶行列式也有主对角线和次对角线。

举例1：
∣1238110422051009∣\begin{vmatrix} 1&2&3&8\\ 1&1&0&4\\ 2&2&0&5\\ 1&0&0&9\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣1121212030008459∣∣∣∣∣∣∣∣

列标取标准排列：123412341234，行标共有4!4!4!个，如1234、1243、1324、1342...43211234、1243、1324、1342...43211234、1243、1324、1342...4321等，故上式等于：1×1×0×9−1×1×5×0−1×0×2×9+1×0×5×0+...+8×0×2×11×1×0×9-1×1×5×0-1×0×2×9+1×0×5×0+...+8×0×2×11×1×0×9−1×1×5×0−1×0×2×9+1×0×5×0+...+8×0×2×1。

由于n阶行列式按照定义展开后项数非常多，一般不会采用这种方式计算，但对于包含000元素较多的行列式，可采用按定义展开的方式进行计算。

举例2：
∣0200003000041000∣\begin{vmatrix} 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4\\ 1&0&0&0\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣0001200003000040∣∣∣∣∣∣∣∣

通过分析可以看出，上式中大部分展开项乘积都是0，只有列标为234123412341的展开项乘积不为0，故上式等于：(−1)N(2341)2×3×4×1=−24(-1)^{N(2341)}2×3×4×1=-24(−1)N(2341)2×3×4×1=−24。

3 特殊结构行列式

3.1 下三角行列式

∣a1100⋯0a21a220⋯0a31a32a33⋯0⋮⋮⋮⋱⋮an1an2an3⋯ann∣=a11a22⋯ann\begin{vmatrix} {a_{11}}&0&0&{\cdots}&0\\ {a_{21}}&{a_{22}}&0&{\cdots}&0\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{a_{n3}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}{\cdots}a_{nn}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21a31⋮an10a22a32⋮an200a33⋮an3⋯⋯⋯⋱⋯000⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22⋯ann

3.2 上三角行列式

∣a11a12a13⋯a1n0a22a23⋯a2n00a33⋯a3n⋮⋮⋮⋱⋮000⋯ann∣=a11a22⋯ann\begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ 0&{a_{22}}&{a_{23}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ 0&0&{a_{33}}&{\cdots}&{a_{3n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&0&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}{\cdots}a_{nn}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1100⋮0a12a220⋮0a13a23a33⋮0⋯⋯⋯⋱⋯a1na2na3n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22⋯ann

3.3 对角型行列式

∣a1100⋯00a220⋯000a33⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯ann∣=a11a22⋯ann\begin{vmatrix} {a_{11}}&0&0&{\cdots}&0\\ 0&{a_{22}}&0&{\cdots}&0\\ 0&0&{a_{33}}&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&0&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}{\cdots}a_{nn}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1100⋮00a220⋮000a33⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22⋯ann

下三角行列式、上三角行列式和对角型行列式的值都等于主对角线元素相乘。

3.4 下三角行列式（山寨版）

∣00⋯0a1n00⋯a2,n−1a2n⋮⋮⋮⋱⋮0an−1,2⋯an−1,n−1an−1,nan1an2⋯an,n−1ann∣\begin{vmatrix} 0&0&{\cdots}&0&{a_{1n}}\\ 0&0&{\cdots}&{a_{2, n-1}}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&{a_{n-1, 2}}&{\cdots}&{a_{n-1, n-1}}&{a_{n-1, n}}\\ {a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{n, n-1}}&{a_{nn}}\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮0an100⋮an−1,2an2⋯⋯⋮⋯⋯0a2,n−1⋱an−1,n−1an,n−1a1na2n⋮an−1,nann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=(−1)N[n(n−1)...321]a1na2,n−1⋯an−1,2an1=(-1)^{N[n(n-1)...321]}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1}=(−1)N[n(n−1)...321]a1na2,n−1⋯an−1,2an1

=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an−1,2an1=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1}=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an−1,2an1

3.5 上三角行列式（山寨版）

∣a11a12⋯a1,n−1a1na21a22⋯a2,n−10⋮⋮⋮⋱⋮an−1,1an−1,2⋯00an10⋯00∣\begin{vmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1, n-1}}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2, n-1}}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n-1, 1}}&{a_{n-1, 2}}&{\cdots}&0&0\\ {a_{n1}}&0&{\cdots}&0&0\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an−1,1an1a12a22⋮an−1,20⋯⋯⋮⋯⋯a1,n−1a2,n−1⋱00a1n0⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=(−1)N[n(n−1)...321]a1na2,n−1⋯an−1,2an1=(-1)^{N[n(n-1)...321]}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1}=(−1)N[n(n−1)...321]a1na2,n−1⋯an−1,2an1

=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an−1,2an1=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1}=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an−1,2an1

3.6 对角型行列式（山寨版）

∣00⋯0a1n00⋯a2,n−10⋮⋮⋮⋱⋮0an−1,2⋯00an10⋯00∣\begin{vmatrix} 0&0&{\cdots}&0&{a_{1n}}\\ 0&0&{\cdots}&{a_{2, n-1}}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&{a_{n-1, 2}}&{\cdots}&0&0\\ {a_{n1}}&0&{\cdots}&0&0\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮0an100⋮an−1,20⋯⋯⋮⋯⋯0a2,n−1⋱00a1n0⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=(−1)N[n(n−1)...321]a1na2,n−1⋯an−1,2an1=(-1)^{N[n(n-1)...321]}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1}=(−1)N[n(n−1)...321]a1na2,n−1⋯an−1,2an1

=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an−1,2an1=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_{1n}a_{2, n-1}{\cdots}a_{n-1, 2}a_{n1}=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an−1,2an1

下三角行列式（山寨版）、上三角行列式（山寨版）和对角型行列式（山寨版）的值都等于次对角线元素相乘，符号由(−1)n(n−1)2(-1)^{\frac{n(n-1)}2}(−1)2n(n−1)决定。

4 行列式的其他定义方式

由于行列式展开后的每一项是由不同行不同列元素相乘，而乘法具有交换律，例如三阶行列式的值也可以表示为：

a11a22a33+a31a12a23+a21a32a13−a31a22a13−a21a12a33−a11a32a23a_{11}a_{22}a_{33}+a_{31}a_{12}a_{23}+a_{21}a_{32}a_{13}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}a11a22a33+a31a12a23+a21a32a13−a31a22a13−a21a12a33−a11a32a23。

可以看出：此时列标取标准排列，而行标取排列的所有可能。所以n阶行列式既然可以按行展开，当然也可以按列展开。

第二种定义（按列展开）：从不同行不同列取n个元素相乘，列标取标准排列，行标取n级排列的所有可能，符号由行标的奇偶性决定，一共有n!n!n!项。

按列展开后，行列式的值可以表示为：∑i1i2⋯in(−1)N(i1i2⋯in)ai11ai22⋯ainn\sum_{i_1i_2{\cdots}i_n}(-1)^{N(i_1i_2{\cdots}i_n)}a_{i_11}a_{i_22}{\cdots}a_{i_nn}∑i1i2⋯in(−1)N(i1i2⋯in)ai11ai22⋯ainn

第三种定义（即不按行，也不按列）：从不同行不同列取n个元素相乘，行标和列标都取n级排列的所有可能，符号由行标和列标的奇偶性共同决定，一共有n!n!n!项。

行列式的值可以表示为：∑i1i2⋯in,j1j2⋯jn(−1)N(i1i2⋯in)+N(j1j2⋯jn)ai1j1ai2j2⋯ainjn\sum_{i_1i_2{\cdots}i_n, j_1j_2{\cdots}j_n}(-1)^{N(i_1i_2{\cdots}i_n)+N(j_1j_2{\cdots}j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}{\cdots}a_{i_nj_n}∑i1i2⋯in,j1j2⋯jn(−1)N(i1i2⋯in)+N(j1j2⋯jn)ai1j1ai2j2⋯ainjn

举例：
表达式：(−1)N(i21m)+N(1k32)ai1a2ka12am2(-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{12}a_{m2}(−1)N(i21m)+N(1k32)ai1a2ka12am2 是行列式展开后的其中一项，求参数i,k,mi, k, mi,k,m的值和表达式的符号。

解：可以看出行列式的行标为：i21mi21mi21m，列标为：1k321k321k32，很明显行标和列标都不是标准排列，所以该行列式是按第三种定义展开的。

通过观察列标1k321k321k32可以得出k=4k=4k=4；而观察行标i21mi21mi21m发现，i=3,m=4i=3, m=4i=3,m=4或i=4,m=3i=4, m=3i=4,m=3。

当k=4,i=3,m=4k=4, i=3, m=4k=4,i=3,m=4时，N(3214)+N(1432)=6N(3214)+N(1432)=6N(3214)+N(1432)=6，故表达式符号为正；

当k=4,i=4,m=3k=4, i=4, m=3k=4,i=4,m=3时，N(4213)+N(1432)=7N(4213)+N(1432)=7N(4213)+N(1432)=7，故表达式符号为负。

5 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ干杯~-bilibili_1.1 n阶行列式