组合数性质--二项式系数之和等于2^n的证明

1.公式

首先我们都知道组合数的意义，就是说一共有n个样本，一次性从中取出m个样本，一共有多少种不同的取法。它的公式如下：

它有这么一个性质：

该性质有若干种证明方式，今天我在这边写出我觉得挺巧妙的一种证明方式。

2.证明

想必大家都知道有关的另一个公式：
关于这个公式的系数（也就是c(n,0),c(n,1)…）可以这么理解：
首先知道，(a+b) ^n 的展开式一共有n+1项，分别是a ^n，a ^n-1b，…ab ^n-1，b ^n。
(a+b) ^n 就是有n个（a+b）相乘，相当于(a+b)(a+b)(a+b)…(a+b)(a+b)，一共n个。
对于a^n，相当于是从n项中找n个a相乘，其系数就是C(n,0)=1，
对于a^n-1b，相当于是从n项中找 (n-1) 个a和 1 个b相乘，其系数就是C(n,1)=n，
对于a^n-2*b ^2，相当于是从n项中找 (n-2) 个a和 2 个b相乘，其系数就是C(n,2)，
…
…
对于b^n，相当于是从n项中找 n 个b相乘，其系数就是C(n,n)=1，
由此可知：组合数之和 = 二项式的系数之和 = （a+b）^n一共的项数
很明显，（a+b）^n，一共有2 ^n个系数为1的项

	（a+b）^n
n=1	2项
n=2	4项
n=3	8项
…	…
n=k	2^k项

这也算是加深了自己的理解吧，以前一直只知道死记公式，从不想为什么，今后这毛病得改。。。

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