分段插值法

用多项式作为插值函数来逼近某一函数f(x)f(x)f(x)是最简单易行的一种插值方法，但是插值多项式的次数是随着插值节点的数目而增加的，且次数高的插值多项式往往插值效果并不理想，会出现所谓的Runge现象，即在插值函数pn(x)p_n(x)pn(x)的两端会发生激烈地震荡（不稳定）。为此，在实际应用中常采用分段插值方法。

所谓分段插值法就是将被插值函数逐段多项式化，构造一个分段多项式作为插值函数。

分段插值：首先，将插值区间划分为若干小段，在每一小段上使用低阶插值；然后，将各小段上的插值多项式拼接在一起作为整个区间上的插值函数。如果使用的低阶插值为线性插值（两点插值），则将拼接成一条折线，用它来逼近函数f(x)f(x)f(x)。

应用低阶插值的关键在于恰当地选择插值节点。由插值余项公式（9）可知，所选节点xix_ixi离插值点x越近则误差越小。

分段线性插值

将插值区间[a,b][a,b][a,b]分成
a=x0,x1,x2,⋯,xn=ba=x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n=b a=x0,x1,x2,⋯,xn=b
n个小段，在每一个小段[xi−1,xi](i=1,2,⋯,n)[x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots,n)[xi−1,xi](i=1,2,⋯,n)上，其分段线性插值的公式为：
s(x)=yi+yi−yi−1xi−xi−1(x−xi)s(x)=y_i+\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}(x-x_i) s(x)=yi+xi−xi−1yi−yi−1(x−xi)
根据
i={1x≤x0kxk−1<x≤xk时，(1≤k≤n)nx>xni = \begin{cases} 1 \quad x\leq x_0 \\ k \quad x_{k-1}<x\leq x_k时，(1\leq k\leq n) \\ n \quad x>x_n \end{cases} i=⎩⎪⎨⎪⎧1x≤x0kxk−1<x≤xk时，(1≤k≤n)nx>xn
选择插值节点，即当插值节点为x0,x1,x2,⋯,xk−1,xk,⋯,xnx_0,x_1,x_2,\cdots,x_{k-1},x_k,\cdots,x_nx0,x1,x2,⋯,xk−1,xk,⋯,xn时，依次从左至右取出各节点。如果插值点x不超过节点x1x_1x1（即在[x0,x1][x_0,x_1][x0,x1]之间），则取节点x0x_0x0和x1x_1x1进行线性插值，否则，再检查x是否超过x2,⋯x_2,\cdotsx2,⋯，依次逐步检查。一旦发现x不超过某个节点xnx_nxn，则取它与前面一个节点xn−1x_{n-1}xn−1进行线性插值。如果x已超过xn−1x_{n-1}xn−1，则不论是否超过xnx_nxn，插值节点均取xnx_nxn和xn−1x_{n-1}xn−1（也就是一律当成是在[xn−1,xn][x_{n-1},x_n][xn−1,xn]）范围内取插值点。

在小段[xn−1,xn][x_{n-1},x_n][xn−1,xn]上，分段线性插值的误差是：
∣R(x)∣=∣f(x)−s(x)∣≤∣f(2)(ξ)∣8(xn−xn−1)2,ξ∈[xn−1,xn]|R(x)|=|f(x)-s(x)|\leq \frac{|f^{(2)}(\xi)|}{8}(x_n-x_{n-1})^2, \quad \xi \in [x_{n-1},x_n] ∣R(x)∣=∣f(x)−s(x)∣≤8∣f(2)(ξ)∣(xn−xn−1)2,ξ∈[xn−1,xn]
可见，当f(2)f^{(2)}f(2)有界时，小段[xn−1,xn][x_{n-1},x_n][xn−1,xn]越小，分段线性插值的误差就越小。用分段线性插值方法提高插值精度是有效的。

分段抛物插值

为了提高插值精度，可以在每一小段取3个节点xi−1,xix_{i-1},x_ixi−1,xi和xi+1x_{i+1}xi+1进行二次插值，从而构成分段抛物插值。其插值公式如下：
y=(x−xi)(x−xi+1)(xi−1−xi)(xi−1−xi+1)⋅yx−1+(x−xi−1)(x−xi+1)(xi−xi−1)(xi−xi+1)⋅yi+(x−xi−1)(x−xi)(xi+1−xi−1)(xi+1−xi)⋅yiy=\frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})}{(x_{i-1}-x_i)(x_{i-1}-x_{i+1})}·y_{x-1}+\frac{(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})}·y_i+\frac{(x-x_{i-1})(x-x_{i})}{(x_{i+1}-x_{i-1})(x_{i+1}-x_i)}·y_i y=(xi−1−xi)(xi−1−xi+1)(x−xi)(x−xi+1)⋅yx−1+(xi−xi−1)(xi−xi+1)(x−xi−1)(x−xi+1)⋅yi+(xi+1−xi−1)(xi+1−xi)(x−xi−1)(x−xi)⋅yi
根据
i={1x<x1k−1xk−1<x<xk且∣x−xk−1∣≤∣x−xk∣,k=2,3,⋯,n−1kxk−1<x<xk且∣x−xk−1∣>∣x−xk∣,k=2,3,⋯,n−1n−1x>xn−1i=\begin{cases} 1 \quad x<x_1 \\ k-1 \quad x_{k-1}<x<x_k 且 |x-x_{k-1}|\leq |x-x_k|, k=2,3,\cdots,n-1 \\ k \quad x_{k-1}<x<x_k 且|x-x_{k-1}|>|x-x_k|,k=2,3,\cdots,n-1 \\ n-1 \quad x>x_{n-1} \end{cases} i=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧1x<x1k−1xk−1<x<xk且∣x−xk−1∣≤∣x−xk∣,k=2,3,⋯,n−1kxk−1<x<xk且∣x−xk−1∣>∣x−xk∣,k=2,3,⋯,n−1n−1x>xn−1
选择插值节点。即靠近x0x_0x0取i=1i=1i=1，计算节点为x0,x1，x2x_0,x_1，x_2x0,x1，x2；靠近xk−1x_{k-1}xk−1取i=k−1i=k-1i=k−1，计算节点为xk−2,xk−1,xkx_{k-2},x_{k-1},x_kxk−2,xk−1,xk；靠近xkx_kxk取i=ki=ki=k，计算节点为xk−1,xk,xk+1x_{k-1},x_k,x_{k+1}xk−1,xk,xk+1；靠近xnx_nxn取i=n−1i=n-1i=n−1，计算节点为xn−2,xn−1,xnx_{n-2},x{n-1},x_nxn−2,xn−1,xn。

分段插值方法特点

（1）分段插值方法算法简单，收敛性可以得到保证，只要节点间距充分小，就能达到任何精度的要求。

（2）如需修改某个数据，则插值函数仅在相关的某个局部范围内受影响。

（3）分段抛物插值所拼接成的插值函数曲线不一定光滑。

分段插值法 | 分段线性插值 + 分段抛物插值相关推荐

Matlab实现线性插值、抛物插值、牛顿插值、拉格朗日插值、分段抛物插值、分段线性插值
目录线性插值原理流程图代码抛物插值原理流程图代码拉格朗日插值代码牛顿插值原理代码分段线性插值代码线性插值原理流程图单个点的线性插值代码 X=[0.2 0.4]; ...
线性插值、抛物插值、Lagrange插值 | Lagrange拉格朗日插值法（一）
Lagrange(拉格朗日)插值法 Lagrange插值法是一种多项式插值方法. 1. 线性插值(两点插值或一次插值) 线性插值就是通过两个采样点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x ...
插值与拟合 (一) ：拉格朗日多项式插值、Newton插值、分段线性插值、Hermite插值、样条插值、 B 样条函数插值、二维插值
插值:求过已知有限个数据点的近似函数. 拟合:已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小. 插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似 ...
分段二次插值的matlab程序,怎样用matlab进行抛物插值（二次插值）
4.1问题的提法一个多项式的幂级数形式可表示为: p(x)= a0xn + a1xn-1 + - + an-1x + an 在MATLAB中,多项式用行向量表示,其元素为多项式的系数,且从左到右按降 ...
拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值
本篇主要介绍在三种插值方法:拉格朗日插值.分段线性插值.三次样条插值,以及这三种方法在matlab中如何实现. 1.拉格朗日插值: 1.1基本原理:先构造一组基函数: 是次 ...
Redis分布式锁分段加锁思想实现分段锁
Redis分布式锁分段加锁思想实现分段锁一.前言这里我简单说一下,代码可能没那么完美.希望各位大佬可以多多指点!!!要是有测试能力的兄弟可以帮我测一下,我这个分段加锁我是全部都在Redis ...
数值计算之插值法（1）多项式插值——拉格朗日插值法
数值计算之插值法(1)多项式插值--拉格朗日插值法前言什么是插值多项式插值法拉格朗日插值法总结前言移动机器人有一个非常重要的任务,轨迹规划.轨迹规划需要满足运动学原理,即在路径规划给出 ...
mysql实现线性插值法_向量之间的插值-四元数法VS.旋转矩阵法的性能比较
问题: 3D空间中,在等长度的两个交角为theta的向量v1(x1,y1,z1),v2(x2,y2,z2)之间进行球面线性插值. 实例: 做一个行星在围绕太阳等速旋转的动画,假设只采样到旋转过程中的两 ...
分段二次插值函数表达式_【插值】插值方法原理详解
插值问题详解 1. 我在具体的应用(如数学建模竞赛)中,常常需要根据已知的函数点进行数据.模型的处理和分析,而通常情况下现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,&quo ...
分段二次插值例题_分段低次插值克服了高次插值多项式可能产生震荡的不足，但分段低次插值函数在整个插值区间上不能保证...
[单选题]43. ---I heard you had left our Disneyland admission coupons at home. [多选题]下列各式中,其计算结果等于贡献边际率的有 ...

分段插值法 | 分段线性插值 + 分段抛物插值

分段插值法

分段插值法 | 分段线性插值 + 分段抛物插值相关推荐

最新文章

热门文章