关于补码与booth算法的想法与逻辑推导

在学习计组的过程中，发现不论是书中还是许多考研视频都对与booth的原理讲解地不清楚，昨天看完第二天看了看大佬写的博客，结合自己的总结，研究了一下他的来龙去脉。
主要是昨天看了龙樱2第三集（笑

先要聊聊补数与求模运算

考虑下面的式子
x=qm+r

-5=-1*14+9

9=0*14+9

23=1*14+9

不难发现，如果换成除法来看的话，m为除数（模数），x为被除数，q为结果，9为余数。
同时不考虑结果，也可以看成求模运算。
从求模运算的角度来看，不论是-5，9，23他们几个小崽子都是等价的，同时，我们可以发现，他们的差值都为14（这个很重要，下面会说明）

再康康补码

我们都知道，在计算机的骚0和直1的二进制中，补码的出现是为了解决带符号，也就是负数加减问题，其计算方法为非符号位取反然后再加个1，下面探究机制和原理。
举个例子
如果我们要实现14-14=0，在二进制中，表现为

00001110
+
10001110
可以发现，由于我们取了符号位，这样算会越算越骚，那怎么办呢？

大家可以看看我们前面所提到的模运算，他们在求模的情况下是等价的，然而最骚的是，我们居然还发现-5的绝对值加上9就等于他的模14。聪明的你一定会在感觉上就刚刚好可以用来解决这个越算越骚的问题。
补数补数，就是指的补来的数
模-a的绝对值=a的补数
而如果是二进制的话如果我们将模设置为9bit，小机灵鬼也该猜到了
100000000-00001110=11110010
出于二进制骚0与阿1的性质，其补数还刚好等于以及我们以上的分析，对于负数值而言，其补数还刚好是一个正数
而有些朋友又要问了，那不是越减越大吗？我们可以神奇的发现，如果我们将字节宽度设定为8bite，如果算出来是9bite的话，多的高位刚好溢出不要。大家可以思考一下，如果模是100000000，以14-14为例，原码加上负数的补码刚刚好等于模，而模的最高位溢出后刚好等于00000000。这也是我在前面提及一正一负这两个例子的原因。

举个例子 88-66=01011000-01000010=01011000+10111110=100010110=34
从10进制来看的话，模自然就是100了
那么上式用补码的思想，可以写为88+66-100=34
然而聪明的大脑可以简单地使用减法，补码的思想是没有必要的，而计算机太瓜

乘法与booth算法

探讨完补码的问题，下面再探讨一下乘法。

这里直接借一下大佬的图片，

大家可以看到，由于0是很骚的，任何一个1与0相乘都会变为0（意味深）
那么我们不如直接就跳过一长串零，这样的话变骚的几率就会大大减小（不是）
比如，x*y 在我们算10100001×00111110，可以将乘数00111110改写为01000000 - 00000010，原式变为10100001×（01000000-0000010）这样就大大减少了运算难度。
则10100001×01000000 + 10100001×00000010

此时我们暂时忽略补码思想饶过计算机一码，直接加起来：10100001 × 01000010 这样就方便表示
但当我们在实际运算中，我们的运算原理还是基于拆开各算各的（不然就错了），但如果我们按照这样的表示按照补码思想总结规律
细心的你又发现了，在将00111110改写为01000000 - 00000010时，又是出于二进制骚0和阿1的性质，01000000和00000010都只存在一位为1。
所以对于合起来的10100001 × 01000010，我们可以总结出规律，
为00或者为11的时候（11抵消了），直接右移一位
为01的时候，加x，然后右移一位（读者可以自己分析，因为前为正后为负）
为10的时候，加-x(补码思想），然后右移一位（同样）
而由于上述的过程推导包含于符号位，所以说补码的运算也可以同样使用例如用负数*负数。
于是，我们不仅仅计算的二进制数变得更简洁，同时可以双位地进行运算。
在实际运算中，涉及到了辅助位与双符号位，有兴趣的友友们可以自己去康康。

以上。