这节介绍常用分布。分常用离散分布和常用连续分布两类。

常用离散分布

二项分布（Binomial Distribution）

记

记

符号“~”读作“服从于”，该记号表示随机变量

容易想到，二项概率恰好是二项式

应用举例：

1. 设射手命中率为
   ，则射击
   次，命中的次数
   .
2. 已知人群中色盲率为
   ，在人群中随机调查50个人，则其中色盲患者
   .
3. 某药品的有效率为
   ，今有
   人服用，则服药有效的人数
   .
4. ……

数学期望：

方差：

两点分布（Bernoulli Distribution）

是一种当

0-1分布，伯努利分布，用来描述一次伯努利试验中成功的次数

或表示为：

其中

应用举例：

1. 小明投篮命中率为
   ，投篮一次，其命中的次数
2. 彩票中奖率为
   ，小明购买一张彩票，其中奖的次数
3. 不会做的单项选择题做对的概率为
   ，随机选择一个选项，做对的次数
4. ……

两点分布是特殊的二项分布，在二项分布数学期望和方差的公式中取

数学期望：

方差：

二项分布与两点分布的关系：若有一列独立同分布于

这个结论表明两点分布具有可加性，且对于服从

上述“独立同分布”、“可加性”的概念，见：coffee：多维随机变量函数的分布

泊松分布（Poisson Distribution）

分布列：

记

应用举例：

1. 某时间段内，来到某商场的顾客数
2. 单位时间内，某网站的点击量
3. 一平方米内玻璃上的气泡数
4. ……

数学期望：

方差：

这里数学期望为

超几何分布（Hypergeometric Distibution）

设有

记为

应用举例：从有10件不合格品的100件产品中随机抽取5件，则抽取的产品中不合格品数

数学期望：

方差：

几何分布（Geometric Distribution）

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件

记作

应用举例：

1. 某产品的不合格率为
   ，首次查到不合格品的检查次数
2. 某射手的命中率为
   ，首次命中的射击次数
3. 掷一颗骰子，首次出现六点的投掷次数
4. ……

数学期望：

方差：

几何分布的无记忆性：

设

该性质表明，在前

无记忆性。

负二项分布（Negative Binomial Distribution）

在伯努利试验序列中，记每次试验中事件

负二项分布或巴斯卡分布，其分布列为：

记作：

几何分布是特殊的负二项分布。从二项分布和负二项分布的定义中看出，二项分布是伯努利试验次数

应用举例：

1. 某产品的不合格率为
   ，产品总数大于5，查到第5件不合格品时，检查次数
2. 某射手的命中率为
   ，第十次命中的射击次数
3. 掷一颗骰子，第三次出现六点时，投掷次数
4. ……

数学期望：

方差：

从负二项分布和几何分布的数学期望和方差的关系可知，类比二项分布与两点分布的关系，可以得到下面的结论：

若有一列独立同分布于

这并不是说明几何分布具有可加性，因为可加性要求服从该类分布的随机变量的和仍服从该类分布，但是服从几何分布的随机变量的和服从负二项分布，这个概念要特别注意。上述结论只能说明对于服从

常用连续分布

正态分布

若随机变量

则称

位置参数，用于控制曲线在

尺度参数，用于控制曲线的形状。

分布函数：

数学期望：

方差：

称

标准正态分布，其密度函数和分布函数分别为：

任何一个正态变量均可以通过标准化转化为标准正态变量，即若

其中

下面不加证明地给出一些常用性质：

若

若

其他的类似。

正态分布常用的

均匀分布

若随机变量

称

均匀分布又称作平顶分布（因其概率密度为常值函数）。

数学期望：

方差：

指数分布

若随机变量

则称

指数分布是一种偏态分布，指数分布随机变量只可能取非负实数。指数分布常被用作各种“寿命”分布，譬如电子元器件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可假定服从指数分布。指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用.。

数学期望：

方差：

指数分布的无记忆性

若随机变量

证明：

因为

由条件概率可得：

证毕。

该式的含义为：记

伽玛分布

先引入伽玛函数：

其中参数

当

伽玛分布：

若随机变量

称X

数学期望：

方差：

伽玛函数的特例：

1. 时的伽玛分布为指数分布：

2.称

因卡方分布是特殊的伽玛分布，故不难求得卡方分布的：

数学期望：

方差：

卡方分布的唯一参数

贝塔分布

先给出贝塔函数：

其中参数

1.

2.贝塔函数与伽玛函数有如下关系：

贝塔分布：

若随机变量

则称

形状参数。

数学期望：

方差：

总结