[算法设计与分析] 用动态规划法求解资源分配问题 (Java)

实验名称：用动态规划法求解资源分配问题 （验证型实验）

实验目标：

(1)掌握用动态规划方法求解实际问题的基本思路。

(2)进一步理解动态规划方法的实质，巩固设计动态规划算法的基本步骤。

实验任务：

(1)设计动态规划算法求解资源分配问题，给出算法的非形式描述。

(2) 实现该算法，计算10个实例，每个实例中n=30， m=10， Ci j为随机产生于范围（0，103）内的整数。记录各实例的数据及执行结果（即最优分配方案、最优分配方案的值）、运行时间。

(3)从理论上分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释相应的实验结果。

实验设备及环境：

PC；C/C++等编程语言。

实验主要步骤：

(1)根据实验目标，明确实验的具体任务；

(2)分析资源分配问题，获得计算其最优值的递推计算公式；

(3)设计求解问题的动态规划算法，并编写程序实现算法；

(4)设计实验数据并运行程序、记录运行的结果；

(5)分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释释相应的实验结果；

问题分析（包括问题描述、建模、算法基本思想及程序实现技巧等）：

1.求最大利润

输入：c[i][j] = 将j+1 台设备分配给i+1 号车间得到的利润。

定义：将j 台设备分配给前i 个车间的最大利润p[i][j]（即题目所求的是p[m][n]），因此p[i][j]是以下两种情况的较大值：

(1)不分配给i 号车间，此时的最大值为将j 台设备分配给前i-1 个车间的最大值，p[i][j] = p[i-1][j]；

(2)分配k 台设备给i 号车间，剩下的j-k 台设备分配给前i-1 个车间，此时p[i][j] = c[i-1][k-1] + p[i-1][j-k]，其中 1≤ k ≤j。

即p[i][j] = max{p[i-1][j], c[i-1][k-1] + p[i-1][j-k]}，其中1≤ k ≤j.

初始化p[0][j] = 0（将j 台设备分配给前0 个车间），p[i][0] = 0（将0 台设备分配给前i 个车间）。

从i = 0 开始自底向上构造表即可计算出p[m][n].

2.求设备分配给哪些车间以及其分配数量。

在1.的基础上，在求p[i][j]的过程中，以表l[i][j] 表示分配给i 号车间的设备数。

从i = m, j = n 开始逆推，

若l[i][j] = 0，则表示这个车间没有分配到设备，此时i --；

若l[i][j] = 某个数k, 则表示这个车间分配到k 台设备，此时i --, j -= k。

实验数据及其结果（可用图表形式给出）：

import java.util.Arrays;
public class Main{public static String maxProfit(int[][] c){int m = c.length+1, n = c[0].length+1;int[][] p = new int[m][n];int[][] l = new int[m][n];for(int i = 0; i < m; i ++)p[i][0] = 0;for(int j = 0; j < n; j ++)p[0][j] = 0;for(int i = 1; i < m; i ++){for(int j = 1; j < n; j ++){int max = p[i-1][j];l[i][j] = 0;for(int k = 1; k <= j; k ++){if(max < c[i-1][k-1] + p[i-1][j-k]){max = c[i-1][k-1] + p[i-1][j-k];l[i][j] = k;}}p[i][j] = max;}}String result = "";for(int i = m-1, j = n-1; i > 0 && j > 0;){if(l[i][j] == 0)i --;else{result = "\n" + "车间" + i + " 分配: " + l[i][j] + result;j -= l[i][j];i --;}}result = "最大利润: " + p[m-1][n-1] + result;return result;}public static void main(String[] args) {int[][] c = new int[3][10];for(int i = 0; i < 3; i ++){c[i][0] = (int)(Math.random()*10);for(int j = 1; j < 10; j ++){c[i][j] = c[i][j-1] + (int)(Math.random()*5);}}for(int i = 0; i < 3; i ++)System.out.println(Arrays.toString(c[i]));System.out.println(maxProfit(c));}
}

实验结果分析及结论：

附：[资源分配问题]

某厂根据计划安排，拟将n台相同的设备分配给m个车间，各车间获得这种设备后，可以为国家提供盈利Ci j(i台设备提供给j号车间将得到的利润，1≤i≤n，1≤j≤m) 。问如何分配，才使国家得到最大的盈利？

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