【高等数学】弧微分、渐近线、曲率和曲率半径

2024-05-10 22:15:20

（六）弧微分、渐近线、曲率和曲率半径

1、弧微分

直角坐标系：ds=(dx)2+(dy)2=1+[y′(x)]2dxds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1+[y'(x)]^2}dxds=(dx)2+(dy)2=1+[y′(x)]2dx

极坐标系：ds=[r(θ)]2+[r′(θ)]2ds = \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2}ds=[r(θ)]2+[r′(θ)]2

2、渐近线

有曲线y=y(x)y=y(x)y=y(x)

1、铅锤渐近线x=x0x=x_0x=x0

若x=x0x=x_0x=x0是铅锤渐近线，则x=x0x=x_0x=x0是曲线y=y(x)的第二类无穷型间断点

2、水平渐近线y=y0y=y_0y=y0

若y=y0y=y_0y=y0是水平渐近线，则lim⁡x→+∞y(x)=b\lim_{x\to +\infty}y(x)=blimx→+∞y(x)=b，或者lim⁡x→−∞y(x)=b\lim_{x\to -\infty}y(x)=blimx→−∞y(x)=b

3、斜渐近线y=kx+by=kx+by=kx+b

若y=kx+by=kx+by=kx+b是斜渐近线，则lim⁡x→±∞y(x)x=k\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x}=klimx→±∞xy(x)=k，b=lim⁡x→±∞y(x)−kxb = \lim_{x \to \pm \infty} y(x)-kxb=limx→±∞y(x)−kx

3、曲率和曲率半径

曲率：曲率是一个绝对值，α\alphaα是曲线上任意一处的倾斜角

直角坐标系：K=｜dα｜｜ds｜=｜y′′(x)｜(1+y′(x))3K = \frac{｜d \alpha｜}{｜ds｜} = \frac{｜y''(x)｜}{\sqrt{(1+y'(x))^3}}K=｜ds｜｜dα｜=(1+y′(x))3｜y′′(x)｜

参数方程：K=｜dα｜｜ds｜=｜x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)｜(x′(t)+y′(t))3K = \frac{｜d \alpha｜}{｜ds｜} = \frac{｜x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)｜}{\sqrt{(x'(t)+y'(t))^3}}K=｜ds｜｜dα｜=(x′(t)+y′(t))3｜x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)｜

曲率半径：
R=1KR = \frac{1}{K}R=K1

4、函数作图的步骤

确定定义域、间断点、周期性、对称性
求一阶和二阶导数，并确定零点和不存在点
确定单调性和极值、拐点和凸性
确定渐近线和特殊点
描点连线

判断间断点类型和求导是最核心的步骤

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