学习笔记-状态方程精确离散化

假设连续系统的线性状态方程为：

x˙=Ax+bu\dot{ \mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}ux˙=Ax+bu, x(0)=x0x(0)=x_0x(0)=x0

其状态转移矩阵为：

Φ(t)=∑k=0∞Aktkk!=eAt\mathbf{\Phi}(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \mathbf{A}^{k} \frac{t^{k}}{k !}=e^{\mathbf{A} t}Φ(t)=∑k=0∞Akk!tk=eAt

其非齐次微分方程的解为：
x(t)=Φ(t−t0)x(t0)⏟齐次解 +∫t0tΦ(t−τ)bu(τ)dτ⏟特解 \mathbf{x}(t)=\underbrace{\mathbf{\Phi}\left(t-t_{0}\right) \mathbf{x}\left(t_{0}\right)}_{\text {齐次解 }}+\underbrace{\int_{t_{0}}^{t} \mathbf{\Phi}(t-\tau) \mathbf{b} u(\tau) d \tau}_{\text {特解 }}x(t)=齐次解 Φ(t−t0)x(t0)+特解 ∫t0tΦ(t−τ)bu(τ)dτ

令t0:=tk=kTt_0:=t_k=kTt0:=tk=kT，并且t:=tk+1=(k+1)Tt:=t_{k+1}=(k+1)Tt:=tk+1=(k+1)T，则有

x(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)bu(τ)dτ\mathbf{x}\left(t_{k+1}\right)=\mathbf{\Phi}(T) \mathbf{x}\left(t_{k}\right)+\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} \Phi\left(t_{k+1}-\tau\right) \mathbf{b} u(\tau) d \taux(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)bu(τ)dτ

因为采样保持，在一个采样区间里，输入控制变量恒定u(τ)=uk=constu(\tau)=u_k=\text{const}u(τ)=uk=const，t∈[tk,tk+1)t \in[t_k,t_{k+1})t∈[tk,tk+1)，所以上式u(τ)u(\tau)u(τ)可以提出：

x(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)bdτuk\mathbf{x}\left(t_{k+1}\right)=\mathbf{\Phi}(T) \mathbf{x}\left(t_{k}\right)+\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} \Phi\left(t_{k+1}-\tau\right) \mathbf{b} d \tau u_kx(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)bdτuk

换元，tk+1−τ=κt_{k+1}-\tau=\kappatk+1−τ=κ，所以dκ=d(tk+1−τ)=−dτd\kappa = d(t_{k+1}-\tau)=-d\taudκ=d(tk+1−τ)=−dτ

x(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫T0−Φ(κ)bdκuk\mathbf{x}\left(t_{k+1}\right)=\mathbf{\Phi}(T) \mathbf{x}\left(t_{k}\right)+\int_{T}^{0} -\Phi\left( \kappa \right) \mathbf{b} d \kappa u_kx(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫T0−Φ(κ)bdκuk

x(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫0TΦ(κ)bdκuk\mathbf{x}\left(t_{k+1}\right)=\mathbf{\Phi}(T) \mathbf{x}\left(t_{k}\right)+\int_{0}^{T} \Phi\left( \kappa \right) \mathbf{b} d \kappa u_kx(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫0TΦ(κ)bdκuk

比较离散状态方程x(tk+1)=Adx(tk)+bduk\mathbf{x}(t_{k+1})=\mathbf{A}_d\mathbf{x}(t_k)+\mathbf{b}_d u_kx(tk+1)=Adx(tk)+bduk

Ad=Φ(T)=∑k=0∞AkTkk!=eAT\mathbf{A}_{d}=\mathbf{\Phi}(T)=\sum_{k=0}^{\infty} \mathbf{A}^{k} \frac{T^{k}}{k !}=e^{\mathbf{A} T}Ad=Φ(T)=∑k=0∞Akk!Tk=eAT

bd=∫0TΦ(κ)bdκ\mathbf{b}_{d}=\int_{0}^{T} \mathbf{\Phi}(\kappa) \mathbf{b} d \kappabd=∫0TΦ(κ)bdκ

cdT=cT\mathbf{c}_{d}^{\mathrm{T}}=\mathbf{c}^{\mathrm{T}}cdT=cT

离散的动态系数矩阵为指数矩阵，求解方法为连续矩阵求和，只有当k→∞k\to\inftyk→∞ 能够取到无穷阶才有完全精确的表达。自然和连续的动态矩阵A\mathbf{A}A不一样。

如果是非线性系统，没有微分方程的通解，那也可以采用同样的思路，对非线性的状态方程采取欧拉法，乃至龙格库塔法逼近。

以上转自知乎用户善道在问题如何理解状态空间中状态方程系数矩阵的离散化后的结果？下的回答，仅作个人笔记使用。

当系统带有扰动时，系统的状态方程为：

x˙=Ax+bu+d(t)\dot{ \mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{b}u+\mathbf{d}(t)x˙=Ax+bu+d(t), x(0)=x0x(0)=x_0x(0)=x0

同样采用知乎用户善道的方法

x(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)bdτuk+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)d(τ)dτ\mathbf{x}\left(t_{k+1}\right)=\mathbf{\Phi}(T) \mathbf{x}\left(t_{k}\right)+\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} \Phi\left(t_{k+1}-\tau\right) \mathbf{b} d \tau u_k+\int_{t_{k}}^{t_{k+1}} \Phi\left(t_{k+1}-\tau\right)\mathbf{d}(\tau)d\taux(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)bdτuk+∫tktk+1Φ(tk+1−τ)d(τ)dτ

换元，tk+1−τ=κt_{k+1}-\tau=\kappatk+1−τ=κ

x(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫0TΦ(κ)bdκuk+∫0TΦ(κ)d((k+1)T−κ)dκ\mathbf{x}\left(t_{k+1}\right)=\mathbf{\Phi}(T) \mathbf{x}\left(t_{k}\right)+\int_{0}^{T} \Phi\left( \kappa \right) \mathbf{b} d \kappa u_k +\int_{0}^{T} \Phi\left( \kappa \right) \mathbf{d}\left( \left(k+1 \right)T-\kappa \right) d \kappax(tk+1)=Φ(T)x(tk)+∫0TΦ(κ)bdκuk+∫0TΦ(κ)d((k+1)T−κ)dκ

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