为什么要用交叉熵作为代价函数

对于大多数人来说，犯错是一件让人很不开心的事情。但反过来想，犯错可以让我们意识到自己的不足，然后我们很快就学会下次不能再犯错了。犯的错越多，我们学习进步就越快。

同样的，在神经网络训练当中，当神经网络的输出与标签不一样时，也就是神经网络预测错了，这时我们希望神经网络可以很快地从错误当中学习，然后避免再预测错了。那么现实中，神经网络真的会很快地纠正错误吗？

我们来看一个简单的例子：

上图是一个只有一个神经元的模型。我们希望输入1的时候，模型会输出0(也就是说，我们只有一个样本(x=1, y=0))。假设我们随机初始化权重参数w=2.0，偏置参数b=2.0。激活函数为sigmoid函数。所以模型的第一次输出为：

output=σ(w⋅x+b)=σ(2.0×1+2.0)=0.98output=σ(w⋅x+b)=σ(2.0×1+2.0)=0.98

output = \sigma(w \cdot x + b) = \sigma(2.0 \times 1 + 2.0) = 0.98
可见，模型的第一次输出跟标签相差很大，很错误的一个输出。然后我们不断地使用梯度下降算法更新参数，重复训练。于是我们得到了下面这个图：

从图中可以看出，随着训练的次数增加，模型的输出越来越接近0。但是有没有发现一个问题？在训练的前部分，cost并没有显著的减少，也就是权重参数w和偏置参数b的变化不明显。我们前面说了，当我们知道错了，而且错误很大时，我们通常会很快地将错误降下来。但是图中的曲线一开始却是很缓慢地变化。这跟我们想要的不一样呀。虽然最终的结果是会收敛，但是我们希望的是在一开始训练的时候，模型可以收敛得更快。究竟是什么原因使得模型的cost在一开始的时候下降很慢呢？

我们知道在用梯度下降更新参数的时候，我们是计算了下面这两个偏导数：

∂C∂w ∂C∂b∂C∂w∂C∂b

\frac{\partial C}{\partial w} \ \ \ \ \frac{\partial C}{\partial b}
其中： C=(y−a)22C=(y−a)22C = \frac{(y-a)^2}{2}，a为模型的输出。所以，上面说cost的变化不明显，也就是这两个偏导数的值很小。我们将a用上面计算output的公式代替，即 a=σ(z),z=w⋅x+ba=σ(z),z=w⋅x+ba = \sigma(z) , z = w \cdot x + b。我们就可以得到：

∂C∂w=(a−y)σ′(z)x=aσ′(z)x∂C∂w=(a−y)σ′(z)x=aσ′(z)x∂C∂w=(a−y)σ′(z)x=aσ′(z)x∂C∂w=(a−y)σ′(z)x=aσ′(z)x

\frac{\partial C}{\partial w} = (a-y){\sigma}'(z)x = a{\sigma}'(z)x \\ \frac{\partial C}{\partial w} = (a-y){\sigma}'(z)x = a{\sigma}'(z)x
为了直观一点，我们可以看一下sigmoid函数的曲线图：

我们可以看到，当模型的输出a(sigmoid的输出)接近于1的时候，曲线变得很平滑(曲线的右上角)，所以σ′(z)σ′(z){\sigma}'(z)也就很小了(斜率很小)。因此，上面两个偏导数的结果就很小了。这就是为什么一开始cost曲线下降很慢的原因了。

交叉熵代价函数

那么，如何解决学习速度不够快这个问题呢？

要想解决这个问题，就是说我们的cost函数不能使用二次平方这种形式了。我们应该使用一种叫做交叉熵的函数。交叉熵代价函数的公式如下：

C=−1n∑x[yIn a+(1−y)In(1−a)]C=−1n∑x[yIna+(1−y)In(1−a)]

C = -\frac{1}{n}\sum_{x}[y In\ a + (1-y)In(1-a)]
其中，n是训练样本的总数。

从这个公式我们并不能很清晰地看出解决了学习速度慢的问题。我们对一个权重参数求导：

将上述公式继续化简可以得到：

我们知道σ′(z)=σ(z)(1−σ(z))σ′(z)=σ(z)(1−σ(z)){\sigma}'(z) = \sigma(z)(1-\sigma(z))，所以我们可以将上面的公式分子分母部分约掉，得到：

从这里我们就可以看到，权重参数的偏导数由σ(z)−yσ(z)−y\sigma(z)-y控制，模型的输出与标签y之间的偏差越大，也就是σ(z)−yσ(z)−y\sigma(z)-y的值越大，那么偏导数就会越大，学习就会越快。这正是我们想要的结果。我们用一开始那个例子，不错这一次cost函数使用交叉熵代价函数了，可以得到下面的曲线：

可以看到，这一次，在一开始的时候，曲线下降的速度变快了。这就是为什么我们在大部分的机器学习模型中，经常使用交叉熵函数作为代价函数的原因了。

参考：
http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap3.html

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