人智导（二十）：知识表示与自动推理（Ⅲ）

前向链与后向链推理策略

总述

到目前为止

我们已经有了知识表示的语言
我们也已有了合适的推理规则（泛化的假言推理）使用知识
现在考虑如何构建一个推理程序
泛化的假言推理能通过两个方式得以实现
- 前向链推理方式(forward chaining)
- 后向链推理方式(backward chaining)

前向链推理

始于知识库(KB)中的句子，依次通过推理规则产生新的结论
过程被触发通过不断地增加新观察到的事实p到知识库KB
前向链推理可被设计在TELL这个部分中：
- 发现所用前件包含p的蕴含式（公理）
- 如果蕴含式其它前件也都与某些事实匹配，增加变量置换后的蕴含式后件（新的结论）到知识库KB中
- 由于产生了新的句子，继续触发在知识库中的进一步推理

前向链推理算法

The Forward-Chaining Inference Algorithm

Procedure FORWARD-CHAINING(KB, p)if there is a sentence in KB that is a renaming of p then return;add p to KB;for each (1) in KB such that some i,(2) succeeds doFIND-AND-INFER(3)end

(1): (p1∧p2∧⋯∧pn→q)(p_1\wedge p_2\wedge\dots \wedge p_n\to q)(p1∧p2∧⋯∧pn→q)
(2): UNIFY(pi,p)=θUNIFY(p_i, p)=\thetaUNIFY(pi,p)=θ
(3): (KB,[p1,…,pi−1,pi+1,…,pn],q,θ)(KB, [p_1, \dots ,p_{i-1}, p_{i+1}, \dots ,p_n], q, \theta)(KB,[p1,…,pi−1,pi+1,…,pn],q,θ)
变量可以换名表示：例如，likes(x, IceCream)和likes(y, IceCream)可以变量换名使得二者一致
Find and Inference子过程

Procedure FIND-AND-INFER(KB, premises, conclusion, (1))if premises = [] thenFORWARD-CHAIN(KB, SUBST((1), conclusion))else for each p' in KB such thatUNIFY(p', SUBST((1), FIRST(premises))) = (2) doFIND-AND-INFER(KB, REST(premises), conclusion, COMPOSE((1), (2)))end

(1): θ\thetaθ
(2): θ2\theta_2θ2
COMPOSE(θ1,θ2)COMPOSE(\theta_1, \theta_2)COMPOSE(θ1,θ2)：置换效果等价于轮流应用其中的一个，即SUBST(COMPOSE(θ1,θ2),p)=SUBST(θ2,SUBST(θ1,p))SUBST(COMPOSE(\theta_1, \theta_2), p)=SUBST(\theta_2, SUBST(\theta_1, p))SUBST(COMPOSE(θ1,θ2),p)=SUBST(θ2,SUBST(θ1,p))

前向链推理示例

知识库初始只包含蕴含式（公理），以Horn范式表示
- America(x)∧Ins(y)∧Nation(z)∧Hostile(z)∧Sell(x,z,y)→Criminal(x)America(x)\wedge Ins(y)\wedge Nation(z)\wedge Hostile(z)\wedge Sell(x, z, y)\to Criminal(x)America(x)∧Ins(y)∧Nation(z)∧Hostile(z)∧Sell(x,z,y)→Criminal(x)
- Owns(China,x)∧LHC(x)→Sell(Trump,China,x)Owns(China, x)\wedge LHC(x)\to Sell(Trump, China, x)Owns(China,x)∧LHC(x)→Sell(Trump,China,x)
- LHC(x)→Ins(x)LHC(x)\to Ins(x)LHC(x)→Ins(x)
- Enemy(x,America)→Hostile(x)Enemy(x, America)\to Hostile(x)Enemy(x,America)→Hostile(x)
依次向知识库加入新观察到的事实(facts)
- FORWARD-CHAINING(KB, American(Trump))
- FORWARD-CHAINING(KB, Nation(China))
- FORWARD-CHAINING(KB, Enemy(China, America))
- FORWARD-CHAINING(KB, Owns(China, LHC))
- …\dots…

前向链推理的特点

推理过程并不是直接面向任何特别问题(query)的求解
典型地，它是一个数据驱动的过程，并且产生许多与问题无关的结论
前向推理是产生式（规则）系统实现的基础（expert system专家系统）

后向链推理

针对query，发现其所在的结论部分（后件）的蕴含式，依次确定其前件是否是知识库中的事实、或者其它蕴含式的后件
直接面向query，通过知识库去试图发现所有的答案（目标驱动）
后向链推理可被设计在ASK这个部分中：
- 查看答案是否直接能从知识库KB中的句子提供
- 发现其所在结论部分（后件）的所有蕴含式
- 再依次确定其前件是否存在于知识库中的事实
后向链是逻辑程序设计(logic programming)的基础

后向链推理示例

如图

推理的完备性

我们要得到结论S(A)

泛化的假言推理不能推导出S(A)
原因：∀x¬P(x)⇒R(x)\forall x\neg P(x) \Rightarrow R(x)∀x¬P(x)⇒R(x)不能转换成Horn范式
这意味着：泛化的假言推理过程是不完备的，有句子被知识库KB逻辑蕴含，但推理程序不能推导出来

推理的完备性

FOL推理的完备性：对AI学科具有极其重要的价值
完备推理的意义在于：机器是有可能的，回答或解决任何的问题，只要能够被一阶谓词逻辑(FOL)所表示
哥德尔证明了一阶谓词逻辑的完备性定理
对于一阶谓词逻辑，我们能够发现这样的推理规则，使得推理过程是完备的，即ifKB⊨αthenKB⊢Rαif~KB~\models\alpha~then~KB~\vdash_R\alphaif KB ⊨α then KB ⊢Rα 证明完备的推理性过程存在，但还需给出具体过程

归结：完备的推理方法

归结推理规则：α∨β,¬βγα∨γ\frac{\alpha\vee\beta , \neg\beta\gamma}{\alpha\vee\gamma}α∨γα∨β,¬βγ等价于¬⇒β,β⇒γ¬α⇒γ\frac{\neg\Rightarrow \beta, \beta\Rightarrow\gamma}{\neg\alpha\Rightarrow\gamma}¬α⇒γ¬⇒β,β⇒γ
- 归结：功能更强于假言推理，假言推理不能推导出新的蕴含式(implication)；仅能推导出原子句子（结论）

泛化的归结推理规则

泛化的归结推理规则（蕴含形式implications)
对于原子句子pip_ipi, qiq_iqi, rir_iri, sis_isi，若UNIFY(pj,qk)=θUNIFY(p_j, q_k)=\thetaUNIFY(pj,qk)=θ:
KaTeX parse error: Can't use function '\r' in math mode at position 60: …_1\vee\dots\vee\̲r̲_n,\\s_1\wedge\…

归结的范式形式

合取范式CNF
知识库中的每个句子都是文字的析取(disjunction)；知识库即视为所有的句子的合取(conjunction)
例如：
¬P(w)∨Q(w)\neg P(w)\vee Q(w)¬P(w)∨Q(w); P(x)∨R(x)P(x)\vee R(x)P(x)∨R(x)
¬Q(y)∨S(y)\neg Q(y)\vee S(y)¬Q(y)∨S(y); ¬R(z)∨S(z)\neg R(z)\vee S(z)¬R(z)∨S(z)
蕴含范式INF
知识库KB中每个句子是一蕴含式，前件是原子句的合取，后件是原子句的析取
例如：
P(w)→Q(w)P(w)\to Q(w)P(w)→Q(w); True→P(x)∨R(x)True\to P(x)\vee R(x)True→P(x)∨R(x)
Q(y)→S(y)Q(y)\to S(y)Q(y)→S(y); R(z)→S(z)R(z)\to S(z)R(z)→S(z)
归结规则是假言(modus ponens)规则的泛化 α,α→ββ\frac{\alpha ,\alpha\to\beta}{\beta}βα,α→β等价于True→α,α→βTrue→β\frac{True\to\alpha, \alpha\to\beta}{True\to\beta}True→βTrue→α,α→β
蕴含范式是Horn范式的泛化
蕴含范式的后件是原子句的析取，而Horn范式的后件是单一原子子句

归结推理过程

一个示例：

归结推理的过程优于假言推理过程，但仍是不完备的
举例：
从空的KB推导p∨¬pp\vee\neg pp∨¬p
完备的推理过程是：归结(resolutions)+反证(refutation)，即反证KaTeX parse error: Undefined control sequence: \lefttightarrow at position 26: …neg P\to False)\̲l̲e̲f̲t̲t̲i̲g̲h̲t̲a̲r̲r̲o̲w̲ ̲(KB\to P)
完备的推理过程：合理和完备的归结方法
推导出结论α\alphaα:
- 步骤一：取α\alphaα的非
- 步骤二：转换其为蕴含范式INF
- 步骤三：添加到KB中（句子均为INF表示）
- 步骤四：推导出矛盾（即false)
示例如下图：
归结方法是反证完备的(refutation-complete)
归结方法并不是用来生成知识库句子集所有逻辑结论，而是对于枚举的任何query句子，若它是知识库句子集的逻辑结论，则归结方法就可以给出一个推理过程（构造一个证明）
通过query句子取非的方式（negated-goal反证），发现query的答案
归结方法是实现定理证明器(Theorem Prover)的基础

转换为合取或蕴含范式

一阶谓词逻辑表示的任何句子都可转换为合取或蕴含范式
步骤如下：
eliminate implications
move ¬\neg¬ inwards
standardize variables
move quantifiers left
skolemization
distribute ∧\wedge∧ over ∨\vee∨
flatten nested conjunctions and disjunctions
convert disjunctions to implications