1、概述

黄金分割法是一种区间收缩方法。

所谓区间收缩方法，指的是将含有最优解的区间逐步缩小，直至区间长度为零的方法。比如，为求函数f(x)在区间[a,b]上的最小值点，可在该区间中任取两点x1、x2x_1、x_2x1、x2,通过比较函数f(x)在这两点的函数值或者导数值等，来决定去掉一部分区间[a,x1x_1x1]或者[x2x_2x2,b],从而使搜索区间长度变小，如此迭代，直至区间收缩为一点为止，或区间长度小于某给定的精度为止。

对于区间[a,b]上的单峰函数f(x)，可以在其中任意选取两点x1、x2x_1、x_2x1、x2，通过比较这两点的函数值，就可以将搜索区间缩小。比如说，如果f(x1x_1x1)<f(x2x_2x2)，则选取[a1,b1a_1,b_1a1,b1]=[a,x2x_2x2]，如果f(x1x_1x1)> f(x2x_2x2)，则选取[a1,b1a_1,b_1a1,b1]=[x1x_1x1,b]，如果f(x1x_1x1)=f(x2x_2x2 )，则选取[a1,b1a_1,b_1a1,b1]=[x1,x2x_1,x_2x1,x2]，这样就得到f(x)的更小的搜索区间[a1,b1a_1,b_1a1,b1]，然后根据这一方法再进行划分,得到一系列搜索区间满足

于是对事先给定的某个精度ε\varepsilonε,当bk−ak<εb_k-a_k<\varepsilonbk−ak<ε时，可以将f(x)的最小值点近似地取为x∗=ak+bk2x^*=\frac{a_k+b_k}{2}x∗=2ak+bk

单峰函数与搜索区间的定义如下：

如何选取x1和x2才能使得算法的效率更高？
这里推导过程不在详细讨论，直接给出满足对称取点、等比收缩和单点计算三个原则的分点。
{x1=a+0.382(b−a)x2=a+0.618(b−a)\left\{\begin{matrix} x_1=a+0.382(b-a) \\ x_2=a+0.618(b-a) \end{matrix}\right.{x1=a+0.382(b−a)x2=a+0.618(b−a)
或者
{x1=a+0.382(b−a)x2=a+b−x1\left\{\begin{matrix} x_1=a+0.382(b-a) \\ x_2=a+b-x_1 \end{matrix}\right.{x1=a+0.382(b−a)x2=a+b−x1

2、黄金分割法

算法描述如下：

这个算法非常理想，整个迭代过程中。除最初计算分点时使用过一次乘法外，后边的分点全部都由加减法完成，并且每次迭代只需计算一个分点的函数值。但是，在实际应用中，该方法存在一定的缺陷。这种缺陷主要来源于无理数−1+52\frac{-1+\sqrt{5}}{2}2−1+5的取值。这里我们只取了小数点后三位数。因而有一定误差，所以在迭代过程中，经过多次累计，误差就会很大，从而导致最终选取的两点并不一定是我们所期望的那两点，事实上，常常发生x2小于x1的情形。
为避免这种情况的出现，我们也可以通过将无理数−1+52\frac{-1+\sqrt{5}}{2}2−1+5小数点后面的位数提高来避免算法的这一缺陷。不过这样做的效果未必很好。因为我们不知道在算法中到底要经过多少次迭代，当迭代次数很大时，这种做法依然是不能奏效的。因此，我们在程序中每次计算分点时不得不根据算法原理，使用一次乘法，即第二个分点不用加减法产生，而直接用乘法计算得出。由此即可避免累计误差所带来的缺陷。我们仍假设f(x)是区间[a，b]上的单峰函数。修改后的黄金分割法的计算框图如下图所示。

3、修改后的黄金分割算法

修改后的黄金分割算法如下：

4、编程实现修改后的黄金分割算法

用黄金分割法求函数f(x)=x3−12x−11f(x)=x^3-12x-11f(x)=x3−12x−11在区间[0,10][0,10][0,10]上的最小值点，取ε=0.01\varepsilon=0.01ε=0.01。

import java.math.BigDecimal;/*** 黄金分割法测试*/
public class GoldenCut {public static final BigDecimal C=new BigDecimal("0.01");public static  BigDecimal end=null;/***x^3-12x-11* @param x 输入参数x* @return x^3-12x-11*/public static BigDecimal ComputeFx(BigDecimal x){return x.pow(3).subtract(new BigDecimal("12").multiply(x)).subtract(new BigDecimal("11")).setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);}/*** a+0.382*(b-a)* @param a* @param b* @return a+0.382*(b-a)*/public static BigDecimal Compute382(BigDecimal a,BigDecimal b){return a.add(new BigDecimal("0.382").multiply(b.subtract(a))).setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);}/*** a+0.618(b-a)* @param a* @param b* @return*/public static BigDecimal Compute618(BigDecimal a,BigDecimal b){return a.add(new BigDecimal("0.618").multiply(b.subtract(a))).setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);}/*** a+b-x1* @param a* @param b* @param x1* @return*/public static BigDecimal Subtractabx1(BigDecimal a,BigDecimal b,BigDecimal x1){return a.add(b).subtract(x1).setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);}//判断是否满足精度 b-a<C？public static boolean OK(BigDecimal a,BigDecimal b){return b.subtract(a).compareTo(C) < 0;}//输出最优解public static BigDecimal Success(BigDecimal a, BigDecimal b){return (a.add(b)).divide(new BigDecimal("2")).setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);}//修改后的黄金分割法public static void goldenTest1(BigDecimal a,BigDecimal b){System.out.println("初始化");BigDecimal x1=Compute382(a,b);BigDecimal x2=Subtractabx1(a,b,x1);BigDecimal f1=ComputeFx(x1);BigDecimal f2=ComputeFx(x2);System.out.println("x1="+x1);System.out.println("x2="+x2);System.out.println("f1="+f1);System.out.println("f2="+f2);System.out.println("迭代区间如下:");int count=0;    //迭代次数while(!OK(a,b)){//只要不满足精度就一直迭代System.out.println("["+a+"\t,\t"+b+"]");count++;    //迭代次数+1if(f1.compareTo(f2)==1){//f1>f2a=x1;if(OK(a,b)){     //精度判断end = Success(a, b);break;}else{f1=f2;x1=x2;x2=Compute618(a,b);f2=ComputeFx(x2);}}else{b=x2;if(OK(a,b)){end = Success(a, b);break;}else{f2=f1;x2=x1;x1=Compute382(a,b);f1=ComputeFx(x1);}}}System.out.println("迭代结束,迭代次数"+count);}public static void main(String[] args) {BigDecimal a=new BigDecimal("0");BigDecimal b=new BigDecimal("10");goldenTest1(a,b);System.out.println("最优解为x*="+end);System.out.println("f(x*)="+ComputeFx(end));}
}

由运行结果可以看到，迭代次数15次，最优解为x∗=2.0009942948,f(x∗)=−26.9999940673x^*=2.0009942948,f(x^*)=-26.9999940673x∗=2.0009942948,f(x∗)=−26.9999940673。迭代区间如下：

可以证明，黄金分割法是线性收敛的。

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