相关系数rrr和决定系数R2R^2R2的那些事

有人说相关系数（correlation coefficient，rrr）和决定系数（coefficient of determination，R2R^2R2，读作R-Squared）都是评价两个变量相关性的指标，且相关系数的平方就是决定系数？这种说法对不对呢？请听下文分解！

协方差与相关系数

要说相关系数，我们先来聊聊协方差。在之前的博文《使用Python计算方差协方差相关系数》中提到协方差是计算两个随机变量XXX和YYY 之间的相关性的指标，定义如下：

Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]

但是协方差有一个确定：它的值会随着变量量纲的变化而变化（covariance is not scale invariant），所以，这才提出了相关系数的概念：

r=Corr(X,Y)=Cov(X,Y)σX⋅σY=E[(X−EX)(Y−EY)]E[X−EX]2E[Y−EY]2r = \mathrm{Corr}(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{\mathrm{E}[(X - \mathrm{E}X)(Y - \mathrm{E}Y)]}{\sqrt{\mathrm{E}[X - \mathrm{E}X]^2}\sqrt{\mathrm{E}[Y - \mathrm{E}Y]^2}}r=Corr(X,Y)=σX⋅σYCov(X,Y)=E[X−EX]2E[Y−EY]2E[(X−EX)(Y−EY)]

对于相关系数，我们需要注意：

相关系数是用于描述两个变量线性相关程度的，如果r>0r \gt 0r>0，呈正相关；如果r=0r = 0r=0，不相关；如果r<0r \lt 0r<0，呈负相关。
如果我们将X−EXX - \mathrm{E}XX−EX和Y−EYY - \mathrm{E}YY−EY看成两个向量的话，那rrr刚好表示的是这两个向量夹角的余弦值，这也就解释了为什么rrr的值域是[-1, 1]。
相关系数对变量的平移和缩放（线性变换）保持不变（Correlation is invariant to scaling and shift，不知道中文该如何准确表达，?）。比如Corr(X,Y)=Corr(aX+b,Y)\mathrm{Corr}(X, Y) = \mathrm{Corr}(aX + b, Y)Corr(X,Y)=Corr(aX+b,Y)恒成立。

决定系数（R方）

下面来说决定系数，R方一般用在回归模型用用于评估预测值和实际值的符合程度，R方的定义如下：

R2=1−FVU=1−RSSTSS=1−∑i(yi−fi)2∑i(yi−y^)2R^2 = 1 - \mathrm{FVU} = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2}R2=1−FVU=1−TSSRSS=1−i∑(yi−y^)2i∑(yi−fi)2

上式中yyy是实际值，fff是预测值，y^\hat{y}y^是实际值的平均值。FVU\mathrm{FVU}FVU被称为fraction of variance unexplained，RSS叫做Residual sum of squares，TSS叫做Total sum of squares。根据R2R^2R2的定义，可以看到R2R^2R2是有可能小于0的，所以R2R2R2不是rrr的平方。一般地，R2R^2R2越接近1，表示回归分析中自变量对因变量的解释越好。

对于R2R^2R2可以通俗地理解为使用均值作为误差基准，看预测误差是否大于或者小于均值基准误差。

此外，我们做这样一个变形：R2=1−∑i(yi−fi)2/n∑i(yi−y^)2/n=1−RMSEVarR^2 = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - f_i)^2 / n}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2 / n} = 1 - \frac{\mathrm{RMSE}}{\mathrm{Var}}R2=1−i∑(yi−y^)2/ni∑(yi−fi)2/n=1−VarRMSE，可以看到变成了1减去均方根误差和方差的比值（有利于编程实现）。

另外有一个叫做Explained sum of squares，ESS=∑i(fi−y^)2\mathrm{ESS} = \sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2ESS=i∑(fi−y^)2

在一般地线性回归模型中，有ESS+RSS=TSS\mathrm{ESS} + \mathrm{RSS} = \mathrm{TSS}ESS+RSS=TSS（证明过程参见：Partitioning in the general ordinary least squares model）

在这种情况下：我们有R2=1−RSSTSS=ESSTSS=∑i(fi−y^)2∑i(yi−y^)2R^2 = 1 - \frac{\mathrm{RSS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\mathrm{ESS}}{\mathrm{TSS}} = \frac{\sum\limits_i(f_i - \hat{y})^2}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2}R2=1−TSSRSS=TSSESS=i∑(yi−y^)2i∑(fi−y^)2

对于R2R^2R2我们需要注意：

R2R^2R2一般用在线性模型中（虽然非线性模型总也可以用），具体参见：Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?
R2R^2R2不能完全反映模型预测能力的高低

最后，这篇文章《8 Tips for Interpreting R-Squared》里面指出了不错误解读R2R^2R2的地方，读完之后，我觉得以后还是少用R2R^2R2，对于模型的评估可以选择其它一些更适合的指标。

参考资料

[1]. The relationship between correlation and the coefficient of determination

[2]. Coefficient of determination

[3]. Explained sum of squares

[4]. Regression Analysis: How Do I Interpret R-squared and Assess the Goodness-of-Fit?

[5]. 8 Tips for Interpreting R-Squared

相关系数r和决定系数R2的那些事

文章目录

相关系数rrr和决定系数R2R^2R2的那些事

协方差与相关系数

决定系数（R方）

参考资料

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