人工智能数学基础--概率与统计13：连续随机变量的标准正态分布

一、引言

在《人工智能数学基础–概率与统计12：连续随机变量的概率密度函数以及正态分布》介绍了连续随机变量概率分布及概率密度函数的概念，并介绍了连续随机变量一个重要的概率密度函数：正态分布的概率密度函数的定义以及推导、使用场景，本文将介绍连续随机变量重要的标准正态分布。

二、标准正态分布

2.1、定义

在《人工智能数学基础–概率与统计12：连续随机变量的概率密度函数以及正态分布》介绍了正态分布 X ~ N(u,σ²）：
f ( x ) = ( 2 π σ ) − 1 e − ( x − u ) 2 2 σ 2 ( − ∞ < x < ∞ ） {\Large f(x) = (\sqrt{2π} \;σ )^{-1}e^{-\frac{(x-u)^2}{2σ^2}}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-∞<x<∞） f(x)=(2π σ)−1e−2σ2(x−u)2(−∞<x<∞）
其中u和σ²为正态分布的“参数”，都是常数，u为任何实数，0<σ<∞。

当正态分布的参数u=0、σ²=1时，正态分布的概率密度函数就简化为：
f ( x ) = e − x 2 2 / 2 π ( − ∞ < x < ∞ ） {\Large f(x) = e^{-\frac{x^2}2}} /\sqrt{2π} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-∞<x<∞） f(x)=e−2x2/2π (−∞<x<∞）
这就是正态分布N(0,1)的密度函数，N(0,1)就称为标准正态分布，其密度函数常记为φ(x)，分布函数记为Φ(x)。

2.2、标准正态分布与正态分布的关系

标准正态分布是正态分布的一种特例，标准正态分布函数非常重要，因为任意的正态分布函数N(u,σ²）都可以转换成标准正态分布N(0,1)，对于任意的X~N(u,σ²），则 Y = (X-u)/σ ~ N(0,1)，证明过程如下：

这个分布函数的导数就是标准正态分布密度函数。

2.3、标准正态分布函数表

标准正态分布函数非常重要，因此其变量与值的数据在概率论相关著作中都有x取值和函数值的表，下表是标准正态分布函数 Φ ( x ) = ( 2 π ) − 1 ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t Φ(x) = (\sqrt{2π})^{-1}∫^x_{-∞} e^{-\frac{t^2}{2}}dt Φ(x)=(2π )−1∫−∞xe−2t2dt当0≤x≤2.98时的函数值对应表，其中纵坐标为x取值到十分位的值，横坐标为x百分位的值，表格中为分布函数的值，当0≤x≤2.98时此表中没有表达的x的对应函数值，可通过线性插值法获得。

当x<0时，可用Φ(x) =1-Φ(-x)转换为x大于0的情况，这个转换证明如下：

2.4、应用案例

例、已知 X~N(1.5,2²），计算P(-1≤x≤2)。
解： P ( − 1 ≤ x ≤ 2 ) = P ( − 1 − 1.5 2 ≤ X − 1.5 2 ≤ 2 − 1.5 2 ) = P ( − 1.25 ≤ X − 1.5 2 ≤ 0.25 ) = Φ ( 0.25 ) − Φ ( − 1.25 ) = Φ ( 0.25 ) + Φ ( 1.25 ) − 1 = 0.4931 P(-1≤x≤2) = P(\frac{-1-1.5}{2}≤\frac{X-1.5}{2}≤\frac{2-1.5}{2})\\=P(-1.25≤\frac{X-1.5}{2}≤0.25)=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=Φ(0.25)+Φ(1.25)-1=0.4931 P(−1≤x≤2)=P(2−1−1.5≤2X−1.5≤22−1.5)=P(−1.25≤2X−1.5≤0.25)=Φ(0.25)−Φ(−1.25)=Φ(0.25)+Φ(1.25)−1=0.4931
其中Φ(0.25)、Φ(1.25)的值通过查表加线性插值得到。

三、小结

本文是老猿学习中国科学技术大学出版社出版的陈希孺老先生的《概率论与数理统计》的总结和思考，标准正态分布N(0,1)是正态分布N(u，σ²)的特例，本文介绍了标准正态分布的由来、正态分布转换成标准正态分布的方法以及标准正态分布函数值表和应用案例。

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