动态规划（DP）--入门题

题目从简到易，很推荐初学者从树塔问题入门，简单易懂

下面就是一个典型树塔问题

试题算法提高夺宝奇兵

[题目描述]
　　在一座山上,有很多很多珠宝,它们散落在山底通往山顶的每条道路上,不同道路上的珠宝的数目也各不相同.下图为一张藏宝地图:

　　 7
　　 3 8
　　 8 1 0
　 2 7 4 4
　 4 5 2 6 5

　　”夺宝奇兵”从山下出发,到达山顶,如何选路才能得到最多的珠宝呢?在上图所示例子中,按照5->7->8->3->7的顺序,将得到最大值30

[输入]
　　第一行正整数N(100>=N>1),表示山的高度
　　接下来有N行非负整数,第i行有i个整数(1<=i<=N),表示山的第i层上从左到右每条路上的珠宝数目试题算法提高 01背包

[输出]
　　一个整数,表示从山底到山顶的所能得到的珠宝的最大数目.

思路：

树塔问题我们是从底部到顶部分析解决，不断更新每一层的最大数值，这样到最顶层，一定就是我们要找的答案啦。直接贴代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define Max -10000000
using namespace std;int hill[105][105];int main()
{int N;scanf("%d",&N);for(int i=1;i<=N;i++)for(int j=1;j<=i;j++)scanf("%d",&hill[i][j]);int sum=0;for(int i=N;i>=1;i--)//从最底层开始循环{for(int j=1;j<=i;j++){if(j==i) break;hill[i-1][j]+=max(hill[i][j],hill[i][j+1]);//上一层的数等于对应下一层的数与左边一个数之和}}    printf("%d",hill[1][1]);return 0;
}

接下来就是经典的01背包问题啦！

试题算法提高 01背包

问题描述

　　给定N个物品,每个物品有一个重量W和一个价值V.你有一个能装M重量的背包.问怎么装使得所装价值最大.每个物品只有一个.

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示物品的个数和背包能装重量。
　　以后N行每行两个数Wi和Vi,表示物品的重量和价值

输出格式

　　输出1行，包含一个整数，表示最大价值。

样例输入

3 5
2 3
3 5
4 7

样例输出

数据规模和约定

　　1<=N<=200,M<=5000.

思路：搞清楚状态转移方程代表着什么，画一个二维的图一个一个演算就很难容易理解

DP[i][j]表示前i个物品，背包容量为j的最优解。表中第一行是背包容量，列对应的是可选的物品有哪些。顺便提一下，01背包也可以用一维数组优化。

源代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int W[205];//物品重量
int V[205];//物品价值
int bag[205][5002];
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&W[i],&V[i]);for(int i=1;i<=n;i++)//前i个物品 {for(int j=0;j<=m;j++)背包容量 {if(j>=W[i])  //注意边界，背包容量要大于物品重量才能装bag[i][j]=max(bag[i-1][j],bag[i-1][j-W[i]]+V[i]);else bag[i][j]=bag[i-1][j]; }}printf("%d",bag[n][m]);return 0;  }

背包问题还有完全背包（每个物品可以选无数次）、多重背包（给定物品可选次数）等。因为昨天做了个类似多重背包的题，就顺便贴一下。

试题算法提高贪吃的大嘴

问题描述

　　有一只特别贪吃的大嘴,她很喜欢吃一种小蛋糕,而每一个小蛋糕有一个美味度,而大嘴是很傲娇的,一定要吃美味度和刚好为m的小蛋糕,而且大嘴还特别懒,她希望通过吃数量最少的小蛋糕达到这个目的.所以她希望你能设计一个程序帮她决定要吃哪些小蛋糕.

输入格式

　　先输入一行包含2个整数m、n,表示大嘴需要吃美味度和为m的小蛋糕,而小蛋糕一共有n种,下面输入n行,每行2个整数,第一个表示该种小蛋糕的美味度,第二个表示蛋糕店中该种小蛋糕的总数

输出格式

　　输出一行包含一个整数表示大嘴最少需要吃的小蛋糕数量,若大嘴无法通过吃小蛋糕达到m的美味度和,则输出"><“.

样例输入

10 2
4 1
2 10

样例输出

样例输入

10 2
4 1
7 3

样例输出

数据规模和约定

　　m ≤ 20000,小蛋糕总数量≤50.

思路：要达到一定的美味度，并且每一种蛋糕可用次数都有限，其实只用多加一层循环限定所选次数就可以了。是用一维数组写的，代码里有注释。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=99999;int m,n;
int M[55],N[55];//美味度和个数
int dp[20005];//填入美味度为n时所吃蛋糕最小数量 int main()
{cin>>m>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>M[i]>>N[i];for(int i=1;i<=m;i++)dp[i]=inf;  //初始化为无穷for(int i=1;i<=n;i++)//循环每一种蛋糕{for(int j=1;j<=N[i];j++)//每一种蛋糕可以选用的次数 {for(int k=m;k>=M[i];k--)dp[k]=min(dp[k],dp[k-M[i]]+1);} } if(dp[m]>55) cout<<"><";else cout<<dp[m];return 0;
}

这个题也可以用DFS搜出来，但我搜超时了，有想了解的可以去看看其他没有超时的大牛的博客www.

试题算法训练拦截导弹

问题描述

　　某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

　　输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式

　　一行，为导弹依次飞来的高度

输出格式

　　两行，分别是最多能拦截的导弹数与要拦截所有导弹最少要配备的系统数

样例输入

389 207 155 300 299 170 158 65

样例输出

6
2
思路：这是一个典型的最长上升子序列和最长下降子序列问题，也是用DP.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int d1[10000],d2[10000];
int h[10000];
int num=0,ans=0;int main()
{int x,i=0;while(cin>>x) h[i++]=x;for(int j=0;j<i;j++)//每一个导弹高度 {d1[j]=d2[j]=1;for(int k=0;k<j;k++)//与之前每一个比较 {if(h[k]>h[j])d1[j]=max(d1[j],d1[k]+1);elsed2[j]=max(d2[j],d2[k]+1);}ans=max(ans,d1[j]);//最多 num=max(num,d2[j]);//最少导弹 }cout<<ans<<endl<<num;return 0;
}

DP有时候蛮难理解，只有一步一步把它的状态都搞清楚才能有所理解，学会了确实是很好用的！

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