十四、基于模型整体逼近的机器人RBF网络自适应控制

14.1 机械臂模型

设n关节机械臂方程为：

$M\left (q \right )\ddot{q}+C\left ( q,\dot{q} \right )\dot{q}+G\left ( q \right )+F\left ( \dot{q} \right )+\tau _{d}=\tau$ （1）

设计跟踪误差为：

$e\left ( t \right )=q_{d}\left ( t \right )-q\left ( t \right )$ （2）

定义误差函数为：

$r=\dot{e}+\Lambda e$ （3）

其中 $\Lambda =\Lambda ^{T}> 0$ ，则

$\dot{q}=-r+\dot{q}_{d}+\Lambda e$

$M\dot{r}=M\left ( \ddot{q}_{d}-\ddot{q}+ \dot{e} \right )=M\left ( \ddot{q}_{d}+ \Lambda \dot{e} \right )-M\ddot{q}$

$=M\left ( \ddot{q}_{d}+\Lambda \dot{e} \right )-Cr+C\left ( \dot{q}_{d} +\Lambda e\right )+G+F+\tau _{d}-\tau$ $=-Cr-\tau +f+\tau _{d}$ （4）

其中 $f\left ( x \right )=M\left ( \ddot{q}_{d}+\Lambda \dot{e} \right )+C\left (\dot{q}_{d} +\Lambda e \right )+G+F$

实际模型中，模型不确定项 $f$ 为未知，因此需要对不确定项 $f$ 进行逼近。

采用RBF网络逼近 $f$ ，根据 $f\left ( x \right )$ 的表达式，网络输入取

$x=\left [ \begin{matrix} e^{T} & \dot{e}^{T} &q_{d}^{T} &\dot{q}_{d}^{T} & \ddot{q}_{d}^{T} \end{matrix} \right ]$

设计控制律为

$\tau =\widehat{f}+K_{v}r$ （5）

其中 $\widehat{f}\left ( x \right )$ 为RBF网络对 $f\left ( x \right )$ 的估计值。

14.2 控制器设计

采用RBF网络逼近 $f$ ，则RBF神经网络的输出为：

$\widehat{f}\left ( x \right )=\widehat{W}^{T}\varphi \left ( x \right )$

设计控制律为：

$\tau =\widehat{f}\left ( x \right )+K_{v}r-v=\widehat{W}^{T}\varphi \left ( x \right )+K_{v}r-v$

其中 $v$ 为用于克服神经网络逼近误差 $\varepsilon$ 的鲁棒项。

将上式控制律代入式（4）得：

$M\dot{r}=-\left ( K_{v}+C \right )r+\widetilde{W}^{T}\varphi \left ( x \right )+\left ( \epsilon +\tau_{d} \right )+v=-\left ( K_{v}+C \right )r+\xi _{1}$

其中 $\xi _{1}=\widetilde{W}^{T}\varphi \left ( x\right )+\left ( \varepsilon +\tau _{d} \right )+v$ 。

14.3 对不确定项 $f\left ( x \right )$ 进行RBF网络逼近

控制律取：

$\tau =\widehat{W}^{T}\varphi \left ( x\right )+K_{v}r-v$

鲁棒项 $v$ 设计为 $v=-\left ( \varepsilon _{N}+b_{d} \right )sgn\left ( r \right )$ 。

被控对象中的 $f\left ( x \right )$ 项可以写为：

$f\left ( x \right )=M\left ( q \right )\zeta _{1}\left ( t \right )+C\left ( q,\dot{q} \right )\zeta _{2}\left ( t \right )+G\left ( q \right )+F\left ( \dot{q} \right )$

其中 $\zeta _{1}\left ( t \right )=\ddot{q}_{d}+\Lambda \dot{e}$ ， $\zeta _{2}\left ( t \right )=\dot{q}_{d}+\Lambda e$

采用RBF网络，可以对 $f\left ( x \right )$ 中的各项分别进行逼近：

$\widehat{M}\left ( q\right )=W_{M}^{T}\varphi _{M}\left ( q \right )$

$\widehat{C}\left ( q,\dot{q}\right )=W_{V}^{T}\varphi _{V}\left ( q,\dot{q} \right )$

$\widehat{G}\left ( q\right )=W_{G}^{T}\varphi _{G}\left ( q \right )$

$\widehat{F}\left ( \dot{q}\right )=W_{F}^{T}\varphi _{F}\left (\dot{ q} \right )$

则

$\widehat{f}\left ( x \right )=\begin{bmatrix} W_{M}^{T}\zeta _{1}\left ( t \right ) &W_{V}^{T}\zeta _{2}\left ( t \right ) &W_{G}^{T} & W_{F}^{T} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \varphi _{M}\\ \varphi _{V}\\ \varphi _{G}\\ \varphi _{F} \end{bmatrix}$

其中

$\varphi \left ( x \right )=\begin{bmatrix} \varphi _{M}\\ \varphi _{V}\\ \varphi _{G}\\ \varphi _{F} \end{bmatrix}$

$W^{T}=\begin{bmatrix} W_{M}^{T}\zeta _{1}\left ( t \right ) &W_{V}^{T}\zeta _{2}\left ( t \right ) &W_{G}^{T} & W_{F}^{T} \end{bmatrix}$

14.4 Simulink仿真

Simulink中的控制框图如下：

仿真结果如下：

上图分别是关节1和2的期望轨迹和实际轨迹，从图中可以看出，在设计好RBF控制律、调节好参数后，关节1和关节2的轨迹拟合程度很好，可以达到预期。

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