高斯模糊原理和python实现

高斯模糊是一种常见的模糊技术，相关知识点有：高斯函数、二维卷积。

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（一）一维高斯分布函数

一维（连续变量）高斯函数形式如下，高斯函数又称“正态分布函数”：

μ是分布函数的均值（或者期望），sigma是标准差。

一维高斯分布函数的图形：

从图可知，以x=0为中心，x取值距离中心越近，概率密度函数值越大，距离中心越远，密度函数值越小。

（二）二维高斯分布函数

二维高斯分布函数的形式：

特别说明，当变量x和y相互独立时，则相关系数ρ=0，二维高斯分布函数可以简化为：

二维高斯分布函数的图形：

对于一维高斯分布，函数中心是平面上的一个点；而对于二维高斯分布，函数中心是一个三维立体空间上的一个点，即上图中山峰的最顶端处的点。

（三）高斯模糊

高斯模糊本质上一种数据平滑技术，可以用于一维、二维甚至多维空间。数据经高斯模糊处理之后，数据会趋向于周边邻近的其他数据，导致各个数据“趋同”。

在图像领域，各个位置的像素值使用“周边邻居像素点加权平均”重新赋值。对于每个像素点，由于计算时均以当前像素点为中心，所以均值μ=0。使用时有2个超参数需要设置：高斯核大小和高斯函数标准差σ。高斯核大小表示“影响当前点的最大邻域范围”，而标准差表示“邻域中的其他像素点对当前点的影响力”。

从下而上观察下图各个函数图像，各个函数的均值相同，而方差逐步减小。

方差衡量数据的分散程度，方差越大，数据越分散，图形就越扁平，数据的集中趋势越弱，应用到高斯模糊中方差越大图形越模糊。

高斯模糊涉及到2个关键技术点：

（1）如何计算高斯卷积核

3×3大小的高斯卷积核的计算示意图

直接计算二维高斯函数值后，卷积核的各个位置取值（截图自pycharm的debug）：

卷积核归一化后的各个位置取值（截图自pycharm的debug）：

高斯卷积核的python代码：

def gaussian_kernel(self):kernel = np.zeros(shape=(self.kernel_size, self.kernel_size), dtype=np.float)radius = self.kernel_size//2for y in range(-radius, radius + 1):  # [-r, r]for x in range(-radius, radius + 1):# 二维高斯函数v = 1.0 / (2 * np.pi * self.sigma ** 2) * np.exp(-1.0 / (2 * self.sigma ** 2) * (x ** 2 + y ** 2))kernel[y + radius, x + radius] = v  # 高斯函数的x和y值 vs 高斯核的下标值kernel2 = kernel / np.sum(kernel)return kernel2

（2）如何在二维图像上进行卷积

对于二维矩阵，卷积时卷积核从左向右、从上而下的滑动，对应位置求加权和。一般图像是RGB三通道，需要逐个通道卷积，每个通道是一个二维矩阵。灰度图只有一个通道，直接卷积即可。

自行实现的二维离散卷积的python代码：

def my_conv2d(inputs: np.ndarray, kernel: np.ndarray):# 计算需要填充的行列数目，这里假定mode为“same”# 一般卷积核的hw都是奇数，这里实现方式也是基于奇数尺寸的卷积核h, w = inputs.shapekernel = kernel[::-1, ...][..., ::-1]  # 卷积的定义，必须旋转180度h1, w1 = kernel.shapeh_pad = (h1 - 1) // 2w_pad = (w1 - 1) // 2inputs = np.pad(inputs, pad_width=[(h_pad, h_pad), (w_pad, w_pad)], mode="constant", constant_values=0)outputs = np.zeros(shape=(h, w))for i in range(h):  # 行号for j in range(w):  # 列号outputs[i, j] = np.sum(np.multiply(inputs[i: i + h1, j: j + w1], kernel))return outputs

scipy中已经提供二维卷积函数scipy.signal.convolve2d，可以直接调用，下图是和自行实现的对比效果。

运行之后结果一致，验证自行实现的二维卷积正确。

补充：scipy.signal.convolve2d的参数说明

in1：输入矩阵
in2：卷积核
mode：指示输出矩阵的尺寸，full代表完全离散线性卷积, valid代表输出尺寸等于输入尺寸-卷积核+1, same代表输出尺寸与输入尺寸一致。
boundary：需要填充时边界填充方式，fill代表使用常量值填充, wrap代表循环方式填充, symm代表以四周边为对称轴对称填充。
fillvalue：常量填充时的填充值

（四）完整代码和运行效果

完整的python代码


class GaussianBlur(object):def __init__(self, kernel_size=3, sigma=1.5):self.kernel_size = kernel_sizeself.sigma = sigmaself.kernel = self.gaussian_kernel()def gaussian_kernel(self):kernel = np.zeros(shape=(self.kernel_size, self.kernel_size), dtype=np.float)radius = self.kernel_size//2for y in range(-radius, radius + 1):  # [-r, r]for x in range(-radius, radius + 1):# 二维高斯函数v = 1.0 / (2 * np.pi * self.sigma ** 2) * np.exp(-1.0 / (2 * self.sigma ** 2) * (x ** 2 + y ** 2))kernel[y + radius, x + radius] = v  # 高斯函数的x和y值 vs 高斯核的下标值kernel2 = kernel / np.sum(kernel)return kernel2def filter(self, img: Image.Image):img_arr = np.array(img)if len(img_arr.shape) == 2:new_arr = signal.convolve2d(img_arr, self.kernel, mode="same", boundary="symm")else:h, w, c = img_arr.shapenew_arr = np.zeros(shape=(h, w, c), dtype=np.float)for i in range(c):new_arr[..., i] = signal.convolve2d(img_arr[..., i], self.kernel, mode="same", boundary="symm")new_arr = np.array(new_arr, dtype=np.uint8)return Image.fromarray(new_arr)def main():img = Image.open("Jeep-cd.jpg").convert("RGB")img2 = GaussianBlur(sigma=2.5).filter(img)plt.subplot(1, 2, 1)plt.imshow(img)plt.subplot(1, 2, 2)plt.imshow(img2)# dpi参数维持图片的清晰度plt.savefig("gaussian.jpg", dpi=500)plt.show()pass

代码运行效果，发现经高斯模糊处理之后，图片发生明显模糊。

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