C++编程求三角形角平分线与对边的交点坐标

问题：设ABC三点，形成三角形，求角平分线与AC的交点坐标（x', y'）

方案：

1. 已知两点求直线方程：A(x1,y1), B(x2,y2)，求直线Line(A-B)的一般直线方程

ax + by + c =0

设b=1，使用y=kx+n转换{-kx + y + (-n)=0;}

a=-(y2-y1)/(x2-x1)

c=-(x2y1-x1y2)/(x2-x1)

可以设b=(x2-x1), 则a=y1-y2, c=x1y2-x2y1，即

a=y1-y2

b=x2-x1

c=x1y2-x2y1

2. 点到线的距离公式 (ax'+by'+c) / 开根号(a1*a1+b1*b1)

直线：ax + by +c =0;

代入点坐标(x',y')，

a. 如果ax'+by'+c > 0 标示在直线的上侧

a. 如果ax'+by'+c = 0 标示在直线上

c. 如果ax'+by'+c = 0 标示在直线的下侧

abs(ax'+by'+c) 越小，距离直线越近

3.已知角平分线与AC交点到角两端距离相等，设点为x', y'，两端直线位AB：a1x+b1y+c1=0, BC：a2x+b2x+c2=0;

距离公式:

交点距离AB：a1x'+b1y'+c1 / 开根号(a1*a1+b1*b1) 根据直线方程：a1 = y1-y2; b1 = x2-x1; c1 = x1*y2-x2*y1;

交点距离BC：a2x'+b2y'+c2 / 开根号(a2*a2+b2*b2) 根据直线方程：a2 = y2-y3; b2 = x3-x2; c2 = x2*y3-x3*y2;

另外x',y'在AC上，满足AC直线方程: a3x+b3y+c3=0; 根据直线方程：a3 = y3-y1; b3 = x1-x3; c3 = x3*y1-x1*y3;

a3x'+b3y'+c3=0;

设m1 = 开根号(a1*a1+b1*b1), m2=开根号(a2*a2+b2*b2)

基于这些：最终求得x',y'坐标

y' =- (c3 + a3 * (c2*m1-c1*m2)/(a1*m2-a2*m1)) / (a3 * (b2*m1 - b1*m2)/(a1*m2-a2*m1) + b3);;

x' =-(b3*y' + c3)/a3;

上面的方法有一个缺陷：当AC水平时，a3 = 0，x'出现了无穷大，这种情况可以使用坐标变换，使AC不与横坐标水平解决！

4.2D坐标系旋转关系

为了便于表述和分析，我们从平面直角坐标系出发，坐标系O-XY和坐标系O'-X'Y'的关系如下图所示：

对于以上坐标关系，我们可以作如下描述：坐标系O-XY逆时针旋转theta（或顺时针旋转-theta）后与坐标系O'-X'Y'重合，或者坐标系O‘-X’Y‘顺时针旋转theta（或逆时针旋转-theta）后与坐标系O-XY重合。利用简单的之间三角形的余弦定理和正玄定理就可以得到以下公式（格式编辑不太熟，故以图像代替）：

示例代码：

#include <iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include <math.h>
using namespace std;const double Pi = 3.14;struct Point
{double x;double y;Point(double x1 = 0, double y2 = 0) : x(x1), y(y2) {}
};Point jiaodian(Point A, Point B, Point C)
{bool flag = false;//作为标记，如果AC直线水平，则为真/*如果AC直线水平，将直角坐标系逆时针旋转45度*/if (C.y - A.y < 0.0001){flag = true;/*将A坐标转换成旋转后的坐标*/Point temp = A;A.x = temp.x * (cos(Pi / 4)) + temp.y * (sin(Pi / 4));A.y = temp.x * (-sin(Pi / 4)) + temp.y * (cos(Pi / 4));/*将B坐标转换成旋转后的坐标*/temp = B;B.x = temp.x * (cos(Pi / 4)) + temp.y * (sin(Pi / 4));B.y = temp.x * (-sin(Pi / 4)) + temp.y * (cos(Pi / 4));/*将C坐标转换成旋转后的坐标*/temp = C;C.x = temp.x * (cos(Pi / 4)) + temp.y * (sin(Pi / 4));C.y = temp.x * (-sin(Pi / 4)) + temp.y * (cos(Pi / 4));}Point D;/*直线 AB：a1x + b1y + c1 = 0*/double a1 = A.y - B.y;double b1 = B.x - A.x;double c1 = A.x * B.y - B.x * A.y;/*直线 BC：a2x + b2y + c2 = 0*/double a2 = B.y - C.y;double b2 = C.x - B.x;double c2 = B.x * C.y - C.x * B.y;/*直线 AC：a3x + b3y + c3 = 0*/double a3 = C.y - A.y;double b3 = A.x - C.x;double c3 = C.x * A.y - A.x * C.y;double m1 = sqrt(a1*a1 + b1*b1);double m2 = sqrt(a2*a2 + b2*b2);D.y = -(c3 + a3 * (c2*m1 - c1*m2) / (a1*m2 - a2*m1)) / (a3 * (b2*m1 - b1*m2) / (a1*m2 - a2*m1) + b3);D.x = -(b3*D.y + c3)/a3;/*将D坐标转换回原来的坐标系*/if (flag == true){Point temp = D;D.x = temp.x * (cos(Pi / 4)) + temp.y * (-sin(Pi / 4));D.y = temp.x * (sin(Pi / 4)) + temp.y * (cos(Pi / 4));}return D;
}int main()
{Point A(0, 0);Point B(1, 1);Point C(2, 0);Point D = jiaodian(A, B, C);cout << D.x << "," << D.y << endl;return 0;
}

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