说在开头：关于宇宙背景辐射

1909年意大利人马可尼发明了无线电通信后，到了30年代无线电通信慢慢发展成为了一个热门产业，那时大多还只依靠收音机，所以广播行业（比如，讲讲一些小笑话啥的）得到了大力发展。与此同时越洋通信的需求也变得越来越迫切，而定向天线由于能量集中、发射效率高的优点被大家所青睐，定向天线必须对准方向才能获得最好的通信效果（谁还记得小时候爬楼转电视天线的时光？一个站在电视机旁指挥，另一个人在楼顶转天线。）。美国贝尔实验室在测试定向天线时受到了一个奇怪的信号，而且这个信号似乎是每隔23小时56分钟出现一次，正当大家一脸懵逼的时候，突然有人大叫一声：靠，这不是恒星日么？地球自转一圈是23小时56分钟（地球公转了约0.986度，折算成自转约3分56秒，所以地球相对太阳的自转加公转总共是24小时），他们跑出屋外一看，恍然大悟：原来定向天线正对着银河系，这个信号原来是银河中心发出来的，于是一门新的学科诞生了：射电天文学。

1964年，美国贝尔实验室的工程师彭齐亚斯和罗伯特.威尔逊正在架设一台喇叭形的天线，用以接收“回声”卫星的信号，为了检测这台天线的噪音性能，他们将天线对准天空方向进行测量。但是他们发现这个天线始终有“滋啦滋啦”的噪声（当年黑白电视机上没有图像时的“雪花”还记得么？）怎么也去不掉，难道是什么地方有杂音干扰到了信号？他们调整了天线各个方向，也还是一样的结果，于是确定、肯定以及一定是天线本身的问题，因为噪声不随角度而变化，果然发现一窝鸽子在天线里面搭了一个窝，窝里还有一群蛋，顺便还在天线里拉了一堆鸽子粪。两位工程师一看，还真不拿自己当外人啊，那时动物保护的概念已深入人心，还不能强拆，于是赶紧找了动物保护人员，把这窝鸽子蛋全部一走了，然后彻彻底底的打扫了一遍，打开天线一扫描，噪声又来了：窝草，这事真整的让人闹心，到底有完没完！

于是两人写了一篇论文，发表在了《天体物理学报》上，顺便打电话到了附近的普林斯顿大学；迪克小组接听了电话后，心里立刻就拔凉拔凉的，他们寻找多年的东西，居然被两个工程师捷足先登了。不久之后迪克、皮伯斯、劳尔和威尔金森在同一杂志上以《宇宙黑体辐射》为题发表了一篇论文，对噪音给出了正确的解释：这就是宇宙微波背景辐射啊，是宇宙诞生之初大爆炸的余热。彭齐亚斯和威尔逊他们测出来的波长大约7.35厘米，折算成黑体辐射大约是2.73K的温度。大爆炸的余温被测到了，而且跟预言吻合的非常好，从此“大爆炸宇宙学”成了大家普遍接受的主流学说。彭齐亚斯和威尔逊后来双双获得了诺贝尔物理学奖，运气来了真是挡都挡不住啊。但是我们更要看到他们的执著，大家都是工程师，假如身处他们的位置，来了这么一个说不清道不明的“机遇”，是否也能坚持到底，更重要的是你现在还会写论文么？（参考自:吴京平-柔软的宇宙）。

五，电感器相关

电感器相关的知识点还有很多，例如：磁芯气隙的作用，电感绕线导线选择，磁芯存储能量的计算等等。本章主要简述两部分内容：趋肤效应原理和气隙磁芯原理。

1，趋肤效应

趋肤效应本来是在“信号完整性”章节中分析的，因为趋肤效应对PCB高速信号走线距离计算和损耗都有较大的影响，但是在电感器中已经不可避免的需要去理解趋肤效应了，否则很多现象无法理解。趋肤效应对PCB走线或电感器中的不同在于应用的频率不同：PCB走线很扁平，所以发生趋肤效应时的频率就非常高（>10MHz），而电感器铜导线则是圆形线缆，其直径远大于PCB走线，产生趋肤效应时的频率就低很多（几百KHz）。

导致趋肤效应的具体原理，我们在“信号完整性”章节具体分析，我们这里只讲趋肤效应的现象以及针对电感器导线的解决方法。

趋肤效应，就是随着在导线中信号频率的升高，决定电流分布的阻抗由原来的电阻变成了感抗，导致电流趋于聚集到导体的表面。聚集程度随频率的增加按√f规律加大，所以电流聚集会导致铜导线有效电阻的增加，此时导线对电流表现出来的就是：交流电阻。

——当导线中的信号频率增加到一定大小时，导线中心位置将没有电流通过，电流流过导线的实际横截面积减小了，也就是说对该频率信号的电流来说，其导线电阻增加了。

由于趋肤效应产生了趋肤深度δ的概念，即：从导线表面到电流密度下降至表面的1/e处的距离，按照指数曲线理想近似方法，可认为由表面到趋肤深度处（深度为δ）的电流密度一直保持不变，然后突降为0；趋肤深度δ ≈66.1/√f mm。如下图所示，我们可以将导线看成是“中空”的，所以在使用圆导线时，若选择直径等于趋肤深度的2倍，那么导线内部无任何一点到表面的距离超过趋肤深度，每一部分导线都得到了充分的利用；同时可以认为电感器导线的交流电阻与直流电阻相等。

——如下图所示，e指数曲线的一个有趣性质：从0到无穷大，曲线下方面积等于经过1/e点的矩形面积。例如：信号频率f =70KHz，那么趋肤深度是0.25mm（根据δ ≈66.1/√f公式计算可得，即10mil），因此在70KHz开关频率下，需要选择直径小于2*10mil = 20mil的导线（因为直径大于20mil，那么导线中间有一部分导体将没有电流流过，会被白白浪费掉）。

在70KHz开关频率下，直径为20mil的铜导线（AWG24）通流能力为1A，但是如果电源设计需求电感器最大电流为10A，那么我们可以用10股AWG24铜导线并联来解决。

2，气隙磁芯

我们日常接触到的电感器磁芯有多种多样，但大部分都不是无气隙的磁芯。那无气隙磁芯和气隙磁芯有什么差别么？

无气隙磁芯的有效磁路长度基本上就是磁芯中心虚圆的周长：Le，有效面积几乎是磁芯的几何截面积：Ae；此时磁阻RΦ = Le/(μc*Ae)。如下图所示磁芯有气隙后，磁阻会增加至RΦ = Lgc/(μc*Ae)；其中lgc = Le + μr*Lg；μr =μc/μ0。事实上Lgc是气隙磁芯的有效长度，其远大于无气隙磁芯长度Le。那为什么有气隙磁芯的磁路长度会增加呢？

1. 根据安培环路定律：磁场强度H的闭环积分等于包围的安匝数：Hc*Lc + Hg+Lg = N*I；

2. 由于B = μ*H，而Φ = B*A，可得：Φ/(μc*Ac) *Lc +Φ/(μ0*Ac)*Lg = N*I。

——根据基尔霍夫（大师）定律，磁通Φ（相当于电流）在磁路中必须连续，且磁芯与气隙中的Ae相同，所以Φc = Φg = Φ，Ag = Ac；气隙的磁导率为真空磁导率μ0，

3. 计算可得Φ = (N*I)/[Lc/(μc*Ac)+Lg/(μ0*Ac)] = FΦ/RΦ，所以RΦ= Rc + Rg = Lc/(μc*Ac) + Lg/(μ0*Ac) = [1/(μ0*Ac)]*[(Lc/μr)+Lg] = [1/(Ac*μ0*μr)]*(Lc+ μr*Lg) =Lgc/(Ac*μr)；

4. 可得到Lgc = Lc +μr*Lg，即气隙磁芯的有效磁路长度增加了，虽然Lg非常小，但是μr可达几千，所以磁路长度Lgc值基本上取决于μr*Lg。

增加了磁路长度，有什么实际用处呢？

1. 有气隙磁芯的有效体积从Ae*Le变成了Ae*Lgc，直观上体积增加了z倍，意味着气隙磁芯体积比实际见到的磁芯物理体积要大的多；

2. 气隙实际上成为了磁芯体积的倍增器，而且只要能产生足够强的磁场，就有希望存储更多的能量。

——实际上大部分磁场能量存储在了气隙上。

3. 加气隙后新的有效长度除以加气隙之前的就的有效长度，该比例称为z因数：z =Lgc/Le = (Le+μr*Lg)/Le ≈ μr*Lg/Le，其中Le = Lg+Lc；所以净磁阻从无气隙磁芯的Re = Le/(μr*Ae)增加到了有气隙磁芯的Rgc = z*Le/(μr*Ae)。

——假设磁芯磁导率为1000，气隙长度占磁芯长度的5%，那么有效磁路长度L ≈ 1000*5% = 50，磁路长度增加了50倍，磁阻也增加了50倍。

4. 气隙使得电感器的磁阻增加了，所以磁通密度（磁感应强度）B= Φ/Ae = N*I/(Ae*RΦ)，从无气隙磁芯时的μc*N*I/Le降至有气隙磁芯时的μc*N*I/(z*Le)，那么磁通密度B降低在什么地方？既然B = Φ/Ae，而且磁通量在磁芯和气隙中都是连续的，所以不管在气隙和磁芯中其磁通密度都是μc*N*I/(z*Le)。

——由磁路欧姆定律可得：FΦ = N*I =Φ * RΦ。

如下图所示，比较有气隙磁芯和无气隙磁芯的磁通密度B和磁通强度H。

1. 根据基尔霍夫定律，磁通（相当于电流）在磁路中必须连续，而Φ = B*Ae，磁芯与气隙的Ae相同，并且磁力线穿过不同材料时是连续的，所以Bg = Bc = B =μc*N*I/Lgc；

2. 由于H =B/μ，磁芯中的磁导率为μc而气隙中的磁导率为μ0，它们相差μr = μc/μ0 倍（相对磁导率），所以Hc = B/μc = N*I/Lgc，Hg = B/μ0 = μr*(N*I/Lgc)；气隙磁芯的磁芯与气隙的磁场强度H不同（磁场强度在气隙和磁芯之间不连续，有突变），相差一个相对磁导率系数μr；

3. 对于有气隙的磁芯，相比于同尺寸的无气隙磁芯，其磁通密度B下降了z倍，而且磁芯的磁场强度H也一样。

——我们将磁路换成电路：磁通量Φ = 电流I，磁阻 RΦ = 电阻R，磁动势F = 电动势U；那么当在电路中电压U不变，电阻R增加，那么必然电流I会响应减小；同理对于磁路来说，磁阻增加，必然会导致磁通量Φ等比例减小。

如下图所示，我们了解了磁芯气隙与磁路长度、磁阻、磁通量以及磁通密度和磁场强度的关系，那么我们前面说了我们从直观上理解气隙增加了等效磁路长度，从而增加了磁芯体积而获得更高的储能能力，但是磁芯气隙具体是如何获得更多的能量储存呢？

1. 根据电感能量储存的公式ε= 1/2*B*H*V(体积)，对于无气隙磁芯来说H = B/μc，那么εe= 1/2*B²*Ve/μc；

2. 对于有气隙磁芯来说，需要分为两部分：

1, 气隙部分：εg = 1/2*B*Hg*V = 1/2*(B²*Ae*Lg/μ0)；

2, 磁芯部分：εc = 1/2*B*Hc*V =1/2*(B²*Ae*Lg/μc)；

3, 气隙磁芯的总能量储存εgc = εg + εc =1/2*(B²*Ae²)*[Lg/(μ0*Ae) + Lc/(μc*Ae)] = 1/2*(B²*Ae²)* RΦ= 1/2* RΦ*Φ²。（Φ= B*S）。

——该磁芯储存能量公式：ε = 1/2*Φ²* RΦ；类似于电气消耗能量：P = I²*R；因为磁通量与电流等效，而磁阻与电阻的表现类似，但磁阻具有储能能力而无耗能特性。又由于电感器储能量定义：ε = 1/2*I²*L，与ε = 1/2*Φ²* RΦ结合，可以推导出电感量L =(μc*N²*Ae)/Le （有兴趣的同学可以自己推一下，对掌握磁场公式有好处）。

3. 当磁芯增加气隙时，如果安匝数（N*I）保持不变（即，磁动势不变），那么气隙磁芯的磁通密度B下降1/z，而取决于B²*z的储存能量也以1/z下降，并不能增加能量储存；

4. 如果磁通密度B保持不变，即安匝数（N*I）增加z倍，那么能量存储以系数z倍增加。

——我们还是翻译成电路来进行比对：假如电路中受限制的是电流最大值Imax（磁通量∅），现在电路中的电阻增加了z倍：z*R（磁阻z*RΦ），那么如果电压U（磁动势FΦ）保持不变，那么电路的功耗：P = U²/(z*F)，是原功耗的1/z；那为了保持电流最大值Imax（Φmax）不变，所以将电压增加z倍变成：z*U；那么功耗P = (z*U)²/(z*R) = z*U²/R 。

5. 在开关电源设计中，电流一般是预先设定的，它取决于负载电流和占空比，所以电流不能任意控制，所以此时需要增加线圈匝数，这也最终限制了z的最大值（线圈匝数受磁芯体积限制，一般控制z = 10）。

上述数学推导过程是以磁导率不变，磁路增加（磁阻增大）的角度来分析的；那我们从另外一个角度来理解上气隙磁芯的变化，如下图所示，为无气隙磁芯和气隙磁芯的B-H磁滞回线对比图，在图中我们可以看到如下结论：

1. 气隙磁芯的磁导率变小了（B/H斜率）；

——同材料/体积的磁芯（不管有气隙或无气隙），其Bmax值是确定的，有气隙磁芯可以对应更大的磁通强度（H），那么其磁芯的磁导率必然会更小。

2. 有气隙磁芯允许通过的磁场强度（H）更大了，说明线圈上允许通过更大的电流；

3. 根据磁芯储能密度公式：ε = 1/2*B*H，即如下图B和H构成的三角形面积：

1, 随着气隙的增加，构成最大三角形的面积也相应增加；

2, 在保持磁场强度（H）相同时，可以看到无气隙磁芯的磁通密度（B）最大（B/H斜率最大），所以此时反而是无气隙磁芯的储能最大。

写在最后

这章的内容实在过多，应该分成两章才好。但这绝不是电感相关基础知识的全部哦，对于硬件设计来说，电感器和感性（对，不是理性）非常重要，决定了很多认为是“玄乎”的现象；如果你不幸遇上了说不清道不明，问题里弥漫出来一种玄学的味道，那就可以试着从感性这个角度入手看一看。（关于玄学，后面再详细讲解，嗯~）

对偶原理最开始在射影几何中被发现：将一个定理的“点”和“直线”对互换，然后其相对应的性质也替换后，得到的命题依然成立。后来在各种领域和系统中都可以找出对偶关系：任何系统均可找出对偶二象的结构关系，且二象间具有完全性，互补性，对立统一性，稳定性，互涨性和互根性。

对于电场和磁场却非完全的对偶关系，我们在上一章《电感特性原理》中，讲述磁场强度概念时说到：由于电场有正负电荷，根据对称性的要求，推论磁场也存在正负磁荷这类单极子（科学家们现在还在寻找着磁荷），所以定义两个磁荷之间的作用力为磁场强度；但实际上磁场每次都以磁偶极子的形式成对出现：我们无论怎么分离磁铁，一个磁体上总是同时拥有N、S极，而不会单独出现磁单极的情况。这同时也体现在了麦克斯韦方程组上，如下图所示，如果存在磁单极，那么高斯磁定律就不是0（磁场线不闭合），而是：▽. B =μ0 *ρ。

宇宙刚诞生之初是具有高度对称性的，按理应该存在磁单极子，但随着宇宙温度的下降，对称性开始破缺（原始力先后分裂出：引力、强力、弱力、电磁力），从而导致了电场和磁场轻微的不对称，但宇宙大爆炸时产生的磁单极子还有飘荡在宇宙中的，只是由于宇宙空间的膨胀，磁单极子的密度变得非常小，小到我们很难探测到。

本章部分相关内容和图片参考自：Sanjaya Maniktala -《精通开关电源设计》（不得不说这位大神名字对我来说太拗口），“硬件十万个为什么”论坛相关文章。下一章《电感器分类》。

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