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本文大部分内容皆来自武忠祥老师考研教材和视频课。

概念

定义：设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在有界区域 D D D上有定义，将区域 D D D任意分成 n n n个小区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 , . . . , Δ σ n \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,...,\Delta\sigma_n Δσ1,Δσ2,...,Δσn，其中 Δ σ i \Delta\sigma_i Δσi代表第 i i i个小区域，也表示它的面积，在每个 Δ σ i \Delta\sigma_i Δσi上任取一点 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)，做乘积 f ( ξ i , η i ) Δ σ i f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i f(ξi,ηi)Δσi，并求和 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i ∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi，记 λ \lambda λ为 n n n个小区域 Δ σ 1 , Δ σ 2 , . . . , Δ σ n \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,...,\Delta\sigma_n Δσ1,Δσ2,...,Δσn中最大直径，如果 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i ∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi存在，则称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D上的二重积分，记为 ∬ D f ( x , y ) d σ = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \iint_Df(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i ∬Df(x,y)dσ=λ→0lim∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi。
几何意义：二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)d\sigma ∬Df(x,y)dσ是一个数，当 f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)≥0 f(x,y)≥0时，其值等于以区域 D D D为底，以曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)为曲顶柱体的体积，当 f ( x , y ) ≤ 0 f(x,y)≤0 f(x,y)≤0时，二重积分的值为负数，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

性质

不等式性质：
- 若在 D D D上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x,y)≤g(x,y) f(x,y)≤g(x,y)，则 ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D g ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)d\sigma≤\iint_Dg(x,y)d\sigma ∬Df(x,y)dσ≤∬Dg(x,y)dσ；
- 若在 D D D上 m ≤ f ( x , y ) ≤ M m≤f(x,y)≤M m≤f(x,y)≤M，则 m σ ≤ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ M σ m\sigma≤\iint_Df(x,y)d\sigma≤M\sigma mσ≤∬Df(x,y)dσ≤Mσ（其中 σ \sigma σ为区域 D D D的面积）；
- ∣ ∬ D f ( x , y ) d σ ∣ ≤ ∬ D ∣ f ( x , y ) ∣ d σ |\iint_Df(x,y)d\sigma|≤\iint_D|f(x,y)|d\sigma ∣∬Df(x,y)dσ∣≤∬D∣f(x,y)∣dσ。
中值定理：设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在闭区域 D D D上连续， σ \sigma σ为区域 D D D的面积，则在 D D D上至少存在一点 ( ξ , η ) (\xi,\eta) (ξ,η)，使得 ∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) σ \iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\sigma ∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ。

计算

利用直角坐标计算

先 y y y后 x x x，积分区域 D D D可以用 a ≤ x ≤ b a≤x≤b a≤x≤b， φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) \varphi_1(x)≤y≤\varphi_2(x) φ1(x)≤y≤φ2(x)表示： ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy ∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy
先 x x x后 y y y，积分区域 D D D可以用 a ≤ y ≤ b a≤y≤b a≤y≤b， φ 1 ( y ) ≤ x ≤ φ 2 ( y ) \varphi_1(y)≤x≤\varphi_2(y) φ1(y)≤x≤φ2(y)表示： ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d y ∫ φ 1 ( y ) φ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}f(x,y)dx ∬Df(x,y)dσ=∫abdy∫φ1(y)φ2(y)f(x,y)dx

利用极坐标计算

先 r r r后 θ \theta θ：积分区域 D D D可以用 α ≤ θ ≤ β \alpha≤\theta≤\beta α≤θ≤β， φ ( α ) ≤ r ≤ φ ( β ) \varphi(\alpha)≤r≤\varphi(\beta) φ(α)≤r≤φ(β)表示， ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ α β d θ ∫ φ ( α ) φ ( β ) f ( r c o s θ , r s i n θ ) r d r \iint_Df(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr ∬Df(x,y)dσ=∫αβdθ∫φ(α)φ(β)f(rcosθ,rsinθ)rdr
适合使用极坐标计算的二重积分的特征：

适合使用极坐标计算的被积函数： f ( x 2 + y 2 ) f ( y x ) , f ( x y ) f(\sqrt{x^2+y^2})f(\frac{}y{x}),f(\frac{x}{y}) f(x2+y2 )f(yx),f(yx)。
适合用极坐标的积分域： x 2 + y 2 ≤ R 2 , r 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ R 2 ， x 2 + y 2 ≤ 2 a x , x 2 + y 2 ≤ 2 b y x^2+y^2≤R^2,r^2≤x^2+y^2≤R^2，x^2+y^2≤2ax,x^2+y^2≤2by x2+y2≤R2,r2≤x2+y2≤R2，x2+y2≤2ax,x2+y2≤2by。

利用函数的奇偶性计算

若积分区域 D D D关于 y y y轴对称， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x x x轴有奇偶性，则 ∬ D f ( x , y ) d σ = { 2 ∬ D x ≥ 0 f ( x , y ) d σ , f ( x , y ) 关于 x 为偶函数 0 , f ( x , y ) 关于 x 为奇函数 \iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_x≥0}f(x,y)d\sigma,f(x,y)关于x为偶函数\\0,f(x,y)关于x为奇函数\end{cases} ∬Df(x,y)dσ={2∬Dx≥0f(x,y)dσ,f(x,y)关于x为偶函数0,f(x,y)关于x为奇函数
若积分区域 D D D关于 x x x轴对称， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 y y y轴有奇偶性，则 ∬ D f ( x , y ) d σ = { 2 ∬ D y ≥ 0 f ( x , y ) d σ , f ( x , y ) 关于 y 为偶函数 0 , f ( x , y ) 关于 y 为奇函数 \iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_y≥0}f(x,y)d\sigma,f(x,y)关于y为偶函数\\0,f(x,y)关于y为奇函数\end{cases} ∬Df(x,y)dσ={2∬Dy≥0f(x,y)dσ,f(x,y)关于y为偶函数0,f(x,y)关于y为奇函数

利用变量的轮换对称性计算

如果积分区域 D D D具有轮换对称性，也就是关于直线 y = x y=x y=x对称，即 D D D的表达式中将 x x x换作 y y y， y y y换作 x x x表达式不变，则 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( y , x ) d σ \iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_Df(y,x)d\sigma ∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ

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