一文搞懂:FT、DTFT、DFT、IDFT
一文搞懂:FT、DTFT、DFT、IDFT
- 写在前面
- 一切为了计算机的处理
- 推导步骤
- 总结
写在前面
近期重温了一下可爱的数字信号处理,又回想起当初被 FT、DTFT、DFT、IDFT 这几兄弟折腾的傻傻分不清的日子,今天特地在此对它们进行一个梳理。
珠玉在前,非常感谢这篇文章的点拨:一幅图搞懂DFT与DTFT的关系
一切为了计算机的处理
我们知道,FT就是傅里叶变换,其可以将信号从时域变换到频域,但是此刻的信号无论在时域还是频域,都是连续的。
然而,计算机只能处理离散的数据,因此我们要在计算机中完成傅里叶变换,就需要在时域与频域对信号进行采样。
下面,我们通过作图的方式,来梳理一下从 FT 到 DFT 的心路历程。
推导步骤
- 连续信号 x(t) ,经过傅里叶变换 FT 后,变成了 X(f)。(两域均连续,计算机无法处理)
- 对 x(t) 在时域进行采样,得到 x(n) 。
- 对 x(n) 进行 离散时间傅里叶变换(DTFT),得到 X(e^jw)。(频域连续,计算机依然无法处理)
- 对 X(e^jw) 进行采样,并尝试通过逆离散傅里叶变换(IDFT)恢复出 x(n),但是 x(n) 出现了周期延拓。依据时频域卷积定理,一个域的采样会导致另一个域的周期延拓。(两域离散,计算机可以处理,但是无法恢复原序列)
- 因为 X(e^jw) 是周期为 2Π 的周期信号,因此,我们仅在主值区间对 X(e^jw) 进行采样,即可恢复出正确的原序列。
总结
- FT 是针对连续信号的傅里叶变换,或者可以理解为傅里叶变换的统称
- DTFT 是针对离散信号的傅里叶变换
- DFT 是在 DTFT 的基础上,在频域的主值区间内采样得到的结果
- FFT 是 DFT 的一种快速算法
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