Python实现“层次分析法”及“自调节层次分析法”

假设我们遇到如下问题：
①对于M个方案，每个方案有N个属性，在已知各个方案每个属性值&&任意两个属性的重要程度的前提下，如何选择最优的方案？
②对于一个层级结构，在已知各底层指标相互之间的重要程度下，如何确定各底层指标对最高级指标的权值？
… …
此时，便可用层次分析法将我们的主观想法——“谁比谁重要”转换为客观度量——“权值”

层次分析法

层次分析法的基本思想是将复杂问题分为若干层次和若干因素，在同一层次的各要素之间简单地进行比较判断和计算，并评估每层评价指标对上一层评价指标的重要程度，确定因素权重，从而为选择最优方案提出依据。步骤如下：
（1）根据自己体系中的关联及隶属关系构建有层次的结构模型，一般分为三层，分别为最高层、中间层和最低层。

（2）构造判断矩阵
假设该层有n个评价指标u₁, u₂, …, u_n，设c_ij为u_i相对于u_j的重要程度，根据公式列出的1-9标度法，判断两两评价指标之间的重要性。

根据比较得出判断矩阵：
C=(c_ij)_n*n其属性为c_ij>0, c_ji=1/c_ij,c_ii=1

（3）层次单排序：从下往上，对于每一层的每个判断矩阵，计算权向量和一致性检验。
计算矩阵C的最大特征根λ_max及对应的特征向量(P₁,P₂,…, P_n)
一致性指标定义为：CI=λmax⁡−nn−1CI = \frac{{{\lambda _{\max }} - n}}{{n - 1}}CI=n−1λmax−n
CI(Consistency Ratio)称为一致性比例。CI=0时，具有完全一致性;CI接近于0，具有满意的一致性;CI越大，不一致性越严重。
一致性比率定义为：CR=CIRI<0.1{\rm{CR}} = \frac{{{\rm{CI}}}}{{{\rm{RI}}}} < 0.1CR=RICI<0.1
其中RI称为随机性指标，参照表如下：

只有当CR<0.1，则认为该判断矩阵通过了一致性检验，即该矩阵自相矛盾产生的误差可忽略。将矩阵C最大特征根对应的特征向量元素作归一化处理，即可得到对应的权重集(C₁,C₂,…,C_n)。
（4）层次总排序
从上往下，依次计算每一层各指标对最上层指标的权值，以及每一层的综合一致性比率CR。

自调节层次分析法——赵中奇

由于层次分析法选用1-9标度构建判断矩阵，而大部分时候我们自己也不能很好度量重要性的程度，故赵中奇提出用-1，0，1三标度来构建判断矩阵。同时，自动调整判断矩阵，消除前后时刻主观比较重要性时的矛盾现象，即让矩阵变为一致性矩阵（CR=0）。构建并调整判断矩阵以及算权值向量的步骤如下：
（1）初始化m=1
a、确定比较矩阵C=(c_ij)_n*n的第m行元素

b、划分指标集合D_m={j|j=m+1,…,n}为
H_m={j|c_mj=-1,j∈D_m}、M_m={j|c_mj=0,j∈D_m}与L_m={j|c_mj=1,j∈D_m}
并构造集合为，其中×表示集合的笛卡尔积

c、若DL_m、DM_m、DH_m全为空集，转d，否则令：

d、若m=n-1，转第二步，否则令m=m+1，转回a
（2）求比较矩阵C

（3）求B=(b_ij)_n*n，其中

（4）求A=(a_ij)_n*n的特征向量，作为各评价指标的相对权重值，其中:

实例分析

由于网上找到的代码大多只能算三层的体系，而且没有赵中奇论文中的自调节层次分析法代码。因此，自己写了一个可以计算超过3层的层次分析法和自调节层次分析法代码！

构建如下4层体系

层次分析法得到的权值

判断矩阵就不列出来了了，可以在代码里找到，得到第四层对A的权值条形图如下：

自调节层次分析法得到的权值

自调节层次分析法对高阶判断矩阵更有优势，而算低阶判断矩阵时的结果和层次分析法差不多。

代码

代码包括了层次分析法与自调节层次分析法的实例，运行的时候注释掉其中一个就行！

"""
Created on Tue Jan 26 10:12:30 2021
自适应层数的层次分析法求权值
@author: lw
"""import numpy as np
import itertools
import matplotlib.pyplot as plt#自适应层数的层次分析法
class AHP():'''注意：python中list与array运算不一样，严格按照格式输入！本层次分析法每个判断矩阵不得超过9阶，各判断矩阵必须是正互反矩阵FA_mx：下一层对上一层的判断矩阵集（包含多个三维数组，默认从目标层向方案层依次输入判断矩阵。同层的判断矩阵按顺序排列，且上层指标不共用下层指标）string：默认为'norm'（经典的层次分析法，需输入9标度判断矩阵），若为'auto'（自调节层次分析法，需输入3标度判断矩阵）'''#初始化函数def __init__(self,FA_mx,string='norm'):self.RI=np.array([0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49])   #平均随机一致性指标if string=='norm':self.FA_mx=FA_mx           #所有层级的判断矩阵elif string=='auto':self.FA_mx=[]for i in range(len(FA_mx)):temp=[] for j in range(len(FA_mx[i])):temp.append(self.preprocess(FA_mx[i][j]))self.FA_mx.append(temp)     #自调节层次分析法预处理后的所有层级的判断矩阵self.layer_num=len(FA_mx)   #层级数目self.w=[]                  #所有层级的权值向量self.CR=[]                 #所有层级的单排序一致性比例self.CI=[]                 #所有层级下每个矩阵的一致性指标self.RI_all=[]              #所有层级下每个矩阵的平均随机一致性指标self.CR_all=[]             #所有层级的总排序一致性比例self.w_all=[]              #所有层级指标对目标的权值#输入单个矩阵算权值并一致性检验(特征根法精确求解)def count_w(self,mx):n=mx.shape[0]eig_value, eigen_vectors=np.linalg.eig(mx)maxeig=np.max(eig_value)         #最大特征值maxindex=np.argmax(eig_value)    #最大特征值对应的特征向量eig_w=eigen_vectors[:,maxindex]/sum(eigen_vectors[:,maxindex])         #权值向量CI=(maxeig-n)/(n-1)RI=self.RI[n-1]if(n<=2 and CI==0):CR=0.0else:CR=CI/RIif(CR<0.1):return CI,RI,CR,list(eig_w.T)else:print('该%d阶矩阵一致性检验不通过,CR为%.3f'%(n,CR))return -1.0,-1.0,-1.0,-1.0#计算单层的所有权值与CRdef onelayer_up(self,onelayer_mx,index):num=len(onelayer_mx)           #该层矩阵个数CI_temp=[]RI_temp=[]CR_temp=[]w_temp=[]for i in range(num):CI,RI,CR,eig_w=self.count_w(onelayer_mx[i])if(CR>0.1):print('第%d层的第%d个矩阵未通过一致性检验'%(index,i+1))returnCI_temp.append(CI)RI_temp.append(RI)CR_temp.append(CR)w_temp.append(eig_w)self.CI.append(CI_temp)self.RI_all.append(RI_temp)self.CR.append(CR_temp)self.w.append(w_temp)#计算单层的总排序及该层总的一致性比例def alllayer_down(self):self.CR_all.append(self.CR[self.layer_num-1])self.w_all.append(self.w[self.layer_num-1])for i in range(self.layer_num-2,-1,-1):if(i==self.layer_num-2):temp=sum(self.w[self.layer_num-1],[])         #列表降维，扁平化处理，取上一层的权值向量CR_temp=[]w_temp=[]CR=sum(np.array(self.CI[i])*np.array(temp))/sum(np.array(self.RI_all[i])*np.array(temp))if(CR>0.1):print('第%d层的总排序未通过一致性检验'%(self.layer_num-i))returnfor j in range(len(self.w[i])):shu=temp[j]w_temp.append(list(shu*np.array(self.w[i][j])))temp=sum(w_temp,[])        #列表降维，扁平化处理，取上一层的总排序权值向量CR_temp.append(CR)self.CR_all.append(CR_temp)self.w_all.append(w_temp)return#计算所有层的权值与CR,层次总排序def run(self):for i in range(self.layer_num,0,-1):self.onelayer_up(self.FA_mx[i-1],i)self.alllayer_down()return#自调节层次分析法的矩阵预处理过程def preprocess(self,mx):temp=np.array(mx)n=temp.shape[0]for i in range(n-1):H=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==-1]M=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==0]L=[j for j,x in enumerate(temp[i]) if j>i and x==1]DL=sum([[i for i in itertools.product(H,M)],[i for i in itertools.product(H,L)],[i for i in itertools.product(M,L)]],[])DM=[i for i in itertools.product(M,M)]DH=sum([[i for i in itertools.product(L,H)],[i for i in itertools.product(M,H)],[i for i in itertools.product(L,M)]],[])if DL:for j in DL:if(j[0]<j[1] and i<j[0]):temp[int(j[0])][int(j[1])]=1if DM:for j in DM:if(j[0]<j[1] and i<j[0]):temp[int(j[0])][int(j[1])]=0if DH:for j in DH:if(j[0]<j[1] and i<j[0]):temp[int(j[0])][int(j[1])]=-1for i in range(n):for j in range(i+1,n):temp[j][i]=-temp[i][j]A=[]for i in range(n):atemp=[]for j in range(n):a0=0for k in range(n):a0+=temp[i][k]+temp[k][j]atemp.append(np.exp(a0/n))A.append(atemp)return np.array(A)   #%%测试函数
if __name__=='__main__' :'''# 层次分析法的经典9标度矩阵goal=[]             #第一层的全部判断矩阵goal.append(np.array([[1, 3],   [1/3 ,1]]))criteria1 = np.array([[1, 3],[1/3,1]])criteria2=np.array([[1, 1,3],[1,1,3],[1/3,1/3,1]])c_all=[criteria1,criteria2]   #第二层的全部判断矩阵sample1 = np.array([[1, 1], [1, 1]])sample2 = np.array([[1,1,1/3], [1,1,1/3],[3,3,1]])sample3 = np.array([[1, 1/3], [3, 1]])sample4 = np.array([[1,3,1], [1 / 3, 1, 1/3], [1,3, 1]])sample5=np.array([[1,3],[1/3 ,1]])sample_all=[sample1,sample2,sample3,sample4,sample5]  #第三层的全部判断矩阵FA_mx=[goal,c_all,sample_all]A1=AHP(FA_mx)     #经典层次分析法A1.run()a=A1.CR           #层次单排序的一致性比例（从下往上）b=A1.w            #层次单排序的权值（从下往上）c=A1.CR_all       #层次总排序的一致性比例（从上往下）d=A1.w_all        #层次总排序的权值（从上往下）e=sum(d[len(d)-1],[])       #底层指标对目标层的权值#可视化plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsename=['D1','D2','D3','D4','D5','D6','D7','D8','D9','D10','D11','D12']plt.figure()plt.bar(name,e)for i,j in enumerate(e):plt.text(i,j+0.005,'%.4f'%(np.abs(j)),ha='center',va='top')plt.title('底层指标对A的权值')plt.show()'''#自调节层次分析法的3标度矩阵(求在线体系的权值)goal=[]             #第一层的全部判断矩阵goal.append(np.array([[0, 1],   [-1,0]]))criteria1 = np.array([[0, 1],[-1,0]])criteria2=np.array([[0, 0,1],[0,0,1],[-1,-1,0]])c_all=[criteria1,criteria2]   #第二层的全部判断矩阵sample1 = np.array([[0, 0], [0, 0]])sample2 = np.array([[0,0,-1], [0,0,-1],[1,1,0]])sample3 = np.array([[0, -1], [1, 0]])sample4 = np.array([[0,1,0], [-1, 0,-1], [0,1,0]])sample5=np.array([[0,1],[-1 ,0]])sample_all=[sample1,sample2,sample3,sample4,sample5]  #第三层的全部判断矩阵FA_mx=[goal,c_all,sample_all]A1=AHP(FA_mx,'auto')     #经典层次分析法A1.run()a=A1.CR           #层次单排序的一致性比例（从下往上）b=A1.w            #层次单排序的权值（从下往上）c=A1.CR_all       #层次总排序的一致性比例（从上往下）d=A1.w_all        #层次总排序的权值（从上往下）e=sum(d[len(d)-1],[])       #底层指标对目标层的权值#可视化plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsename=['D1','D2','D3','D4','D5','D6','D7','D8','D9','D10','D11','D12']plt.figure()plt.bar(name,e)for i,j in enumerate(e):plt.text(i,j+0.005,'%.4f'%(np.abs(j)),ha='center',va='top')plt.title('底层指标对A的权值')plt.show()