双重差分 difference-in-differences

双重差分吗，就是差分两次。

我们先来举个栗子。

现在要修一条铁路，铁路是条线，所以必然会有穿过的城市和没有被穿过的城市。记Di=1 如果城市i被穿过，Di=0 如果城市i没有被穿过。
现在我们比较好奇铁路修好以后，被铁路穿过的城市是不是经济增长更快了？我们该怎么做呢？
一开始的想法是，我们把Di=1的城市的GDP加总，减去Di=0的城市的GDP加总，然后两者一减，即E(Yi|Di=1)-E(Yi|Di=0)，这样我们就算出了两类城市的GDP的平均之差。
这样做不用说肯定有问题。万一被铁路穿过的城市在建铁路之前GDP就高呢？为了解决这个问题，我们需要观察到至少两期，第一期是建铁路之前，第二期是建铁路之后。我们先把两类城市的GDP做两期之差，即：

这是第一次差分，经过这一步，我们实际上算出了每个城市GDP的增长（率，如果取log之后），也就是GDP的趋势。
完了之后，计算：

这是第二次差分。这一步就把两类城市在修建铁路之前和之后的GDP增长率的差异给算出来了，这就是我们要的处理效应，即修建铁路之后对城市经济的促进作用。
这个东西你还可以换一个写法。记T=1 如果时间为建铁路之后，T=0如果时间为建铁路之前，那么我们可以得到一个表：

Treated代表在某一期，某一类城市是不是建了铁路。第零期肯定没有建铁路，第一期只有Di=1的城市建了铁路。所以Treated=Di*T。因此我们把方程写成：

对时间差分，得到：

再次差分，取期望：

可见，gamma就是我们想要估计的处理效应。
所以实际做的时候，可以直接跑

这个式子的回归，得到的交叉项的系数就是所要估计的处理效应。
用一个图表示就是：

所以看清楚了，这里DID最关键的假设是common trend，也就是两个组别在不处理的情况下，y的趋势是一样的。
那么你会说了，铁路穿过的城市可能本身GDP也高，而GDP高的城市按照理论GDP增长率可能更高可能更低，所以common trend的假设可能是不对的，那怎么办？
如果这个问题存在，我们可以进一步假设在控制了某些外生变量之后，common trend是对的，比如上个问题，我们可以控制城市在t=0期的GDP level。当我们控制其他变量之后，自然不能直接减两次了，我们需要用上面说的回归式子，即run the following OLS:

好了，我就说到这里了。当然也有可能你控制了X之后common trend 还是不成立，那么你要想其他办法了。有些人会去找工具变量，这个方法我不是多么认可，所以我也就不介绍了。需要的时候再说。

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