[ 文献阅读·能源 ] Load shifting of a supplier-based demand response of multi-class subscribers in smart grid [1]

推荐理由：一般而言实时定价问题分为两个主体：电力供应商以及电力用户。多主体、多目标有时非合作博弈的场景，使得双层规划或是KKT法在此领域较为受欢迎。但今天的这篇文献，使用一种名为ADMM的方法，求解更为复杂的场景，十分值得借鉴。

1.摘要&简介

多级用户
需求转移
ADMM法求解

2.基于ADMM的多级用户实时定价

2.1.多级用户

本文将用户分为三个不同类别：居民用户、商业用户和工业用户，分别用以下集合表示：R={1,2,3,⋯,n1}\mathbb{R}=\left\{1,2,3, \cdots, n_{1}\right\}R={1,2,3,⋯,n1}，Q={1,2,3,⋯,n2}\mathbb{Q}=\left\{1,2,3, \cdots, n_{2}\right\}Q={1,2,3,⋯,n2}，N={1,2,3,⋯,n3}\mathbb{N}=\left\{1,2,3, \cdots, n_{3}\right\}N={1,2,3,⋯,n3}。
xik,yjkx_{i}^{k}, y_{j}^{k}xik,yjk和zlkz_{l}^{k}zlk代表这三类用户在k时刻的用电量。
并且这三类用户的用电量会有上下限限制：
mR,ik≤xik≤MR,ik,mQ,jk≤yjk≤MQ,jk,mN,lk≤zlk≤MN,lk(1)m_{\mathbb{R}, i}^{k} \leq x_{i}^{k} \leq M_{\mathbb{R}, i}^{k}, m_{\mathbb{Q}, j}^{k} \leq y_{j}^{k} \leq M_{\mathbb{Q}, j}^{k}, m_{\mathbb{N}, l}^{k} \leq z_{l}^{k} \leq M_{\mathbb{N}, l}^{k}\tag{1} mR,ik≤xik≤MR,ik,mQ,jk≤yjk≤MQ,jk,mN,lk≤zlk≤MN,lk(1)

2.2.不同用户的不同效用函数

基于2.1所述三类用户，他们有三种不同的效用函数：
Υ(x,ω)={ωx−α2x2,0≤x<ωαω22α,x≥ωαΛ(y,ω)=βlg⁡(ωy+1),y≥0Π(z,ω)=μlog⁡2(ωz+1),z≥0(2,3,4)\begin{array}{l} \Upsilon(x, \omega)=\left\{\begin{aligned} \omega x-\frac{\alpha}{2} x^{2}, & 0 \leq x<\frac{\omega}{\alpha} \\ \frac{\omega^{2}}{2 \alpha}, & x \geq \frac{\omega}{\alpha} \end{aligned}\right. \\ \Lambda(y, \omega)=\beta \lg (\omega y+1), y \geq 0 \\ \Pi(z, \omega)=\mu \log _{2}(\omega z+1), z \geq 0 \end{array}\tag{2,3,4} Υ(x,ω)=⎩⎪⎨⎪⎧ωx−2αx2,2αω2,0≤x<αωx≥αωΛ(y,ω)=βlg(ωy+1),y≥0Π(z,ω)=μlog2(ωz+1),z≥0(2,3,4)

2.3.供电商发电成本

发电成本还是使用较多的那个函数：
C(Lk)=a(Lk)2+bLk+c(5)\mathbb{C}\left(L_{k}\right)=a\left(L_{k}\right)^{2}+b L_{k}+c\tag{5} C(Lk)=a(Lk)2+bLk+c(5)
本文一个有意思的地方就是，三类用户分开供电（也有可能是我文章看少了，头一次碰到）：
LRk=∑i∈Rxik,LQk=∑j∈Qyjk,LRk=∑l∈Nzlk(6)L_{\mathbb{R}}^{k}=\sum_{i \in \mathbb{R}} x_{i}^{k}, L_{\mathbb{Q}}^{k}=\sum_{j \in \mathbb{Q}} y_{j}^{k}, L_{\mathbb{R}}^{k}=\sum_{l \in \mathbb{N}} z_{l}^{k}\tag{6} LRk=i∈R∑xik,LQk=j∈Q∑yjk,LRk=l∈N∑zlk(6)
同样，针对三类用户的发电量也有一个上下限：
Lk,Rmin⁡≤LRk≤Lk,Rmax⁡,Lk,Qmin⁡≤LQk≤Lk,Qmax⁡,Lk,Nmin⁡≤LNk≤Lk,Nmax⁡(7)L_{k, \mathbb{R}}^{\min } \leq L_{\mathbb{R}}^{k} \leq L_{k, \mathbb{R}}^{\max }, L_{k, \mathbb{Q}}^{\min } \leq L_{\mathbb{Q}}^{k} \leq L_{k, \mathbb{Q}}^{\max }, L_{k, \mathbb{N}}^{\min } \leq L_{\mathbb{N}}^{k} \leq L_{k, \mathbb{N}}^{\max }\tag{7} Lk,Rmin≤LRk≤Lk,Rmax,Lk,Qmin≤LQk≤Lk,Qmax,Lk,Nmin≤LNk≤Lk,Nmax(7)
最后综合为总发电量上下限条件：
Lk,Rmin⁡+Lk,Qmin⁡+Lk,Nmin⁡≤Lˉk≤Lk,Rmax⁡+Lk,Qmax⁡+Lk,Nmax⁡(8)L_{k, \mathbb{R}}^{\min }+L_{k, \mathbb{Q}}^{\min }+L_{k, \mathbb{N}}^{\min } \leq \bar{L}_{k} \leq L_{k, \mathbb{R}}^{\max }+L_{k, \mathbb{Q}}^{\max }+L_{k, \mathbb{N}}^{\max }\tag{8} Lk,Rmin+Lk,Qmin+Lk,Nmin≤Lˉk≤Lk,Rmax+Lk,Qmax+Lk,Nmax(8)
电力预留（柔性）：
xik≥vR,ik≥mR,ik,yjk≥vQ,jk≥mQ,jk,zlk≥vN.lk≥mN,lk(9)x_{i}^{k} \geq v_{\mathbb{R}, i}^{k} \geq m_{\mathbb{R}, i}^{k}, y_{j}^{k} \geq v_{\mathbb{Q}, j}^{k} \geq m_{\mathbb{Q}, j}^{k}, z_{l}^{k} \geq v_{\mathbb{N} . l}^{k} \geq m_{\mathbb{N}, l}^{k}\tag{9} xik≥vR,ik≥mR,ik,yjk≥vQ,jk≥mQ,jk,zlk≥vN.lk≥mN,lk(9)

2.4.多级用户实时定价模型

首先是最大化用户效用：
Max⁡Z=∑i∈RΥ(xik,ωik)+∑j∈QΛ(yjk,ωjk)+∑l∈NΠ(zlk,ωlk)−C(LRk)−C(LQk)−C(LNk)s.t. ∑i∈Rxik=LRk,∑j∈Qyjk=LNk,∑l∈Nzlk=LNkmR,ik≤xik≤MR,ik,mQ,jk≤yjk≤MQ,jk,mN,lk≤zlk≤MN,lk,lLk,Rmin⁡≤LRk≤Lk,Rmax⁡,Lk,Qmin⁡≤LQk≤Lk,Qmax⁡,Lk,Nmin⁡≤LNk≤Lk,Nmax⁡Lk,Rmin⁡=∑i∈RmR,ik,Lk,Rmax⁡=∑i∈RMR,ikLk,Qmin⁡=∑j∈QmQ,jk,Lk,Qmax⁡=∑j∈QMQ,jkLk,Nmin⁡=∑l∈NmN,lk,Lk,Nmax⁡=∑l∈NMN,lk(10)\begin{array}{l} \begin{aligned} \operatorname{Max} Z &=\sum_{i \in \mathbb{R}} \Upsilon\left(x_{i}^{k}, \omega_{i}^{k}\right)+\sum_{j \in \mathbb{Q}} \Lambda\left(y_{j}^{k}, \omega_{j}^{k}\right) \\ &+\sum_{l \in \mathbb{N}} \Pi\left(z_{l}^{k}, \omega_{l}^{k}\right)-\mathbb{C}\left(L_{\mathbb{R}}^{k}\right)-\mathbb{C}\left(L_{\mathbb{Q}}^{k}\right)-\mathbb{C}\left(L_{\mathbb{N}}^{k}\right) \end{aligned}\\ \text { s.t. }\\ \sum_{i \in \mathbb{R}} x_{i}^{k}=L_{\mathbb{R}}^{k}, \sum_{j \in \mathbb{Q}} y_{j}^{k}=L_{\mathbb{N}}^{k}, \sum_{l \in \mathbb{N}} z_{l}^{k}=L_{\mathbb{N}}^{k}\\ \begin{array}{l} m_{\mathbb{R}, i}^{k} \leq x_{i}^{k} \leq M_{\mathbb{R}, i}^{k}, m_{\mathbb{Q}, j}^{k} \leq y_{j}^{k} \leq M_{\mathbb{Q}, j}^{k}, m_{\mathrm{N}, l}^{k} \leq z_{l}^{k} \leq M_{N, l}^{k}, l \\ L_{k, \mathbb{R}}^{\min } \leq L_{\mathbb{R}}^{k} \leq L_{k, \mathbb{R}}^{\max }, L_{k, Q}^{\min } \leq L_{\mathbb{Q}}^{k} \leq L_{k, Q}^{\max }, L_{k, N}^{\min } \leq L_{\mathbb{N}}^{k} \leq L_{k, N}^{\max }\\ L_{k, \mathbb{R}}^{\min }=\sum_{i \in \mathbb{R}} m_{\mathbb{R}, i}^{k}, L_{k, \mathbb{R}}^{\max }=\sum_{i \in \mathbb{R}} M_{\mathbb{R}, i}^{k}\\ L_{k, \mathbb{Q}}^{\min }=\sum_{j \in \mathbb{Q}} m_{\mathbb{Q}, j}^{k}, L_{k, \mathbb{Q}}^{\max }=\sum_{j \in \mathbb{Q}} M_{\mathbb{Q}, j}^{k}\\ L_{k, \mathbb{N}}^{\min }=\sum_{l \in \mathbb{N}} m_{\mathbb{N}, l}^{k}, L_{k, \mathbb{N}}^{\max }=\sum_{l \in \mathbb{N}} M_{\mathbb{N}, l}^{k} \end{array} \end{array}\tag{10} MaxZ=i∈R∑Υ(xik,ωik)+j∈Q∑Λ(yjk,ωjk)+l∈N∑Π(zlk,ωlk)−C(LRk)−C(LQk)−C(LNk) s.t. ∑i∈Rxik=LRk,∑j∈Qyjk=LNk,∑l∈Nzlk=LNkmR,ik≤xik≤MR,ik,mQ,jk≤yjk≤MQ,jk,mN,lk≤zlk≤MN,lk,lLk,Rmin≤LRk≤Lk,Rmax,Lk,Qmin≤LQk≤Lk,Qmax,Lk,Nmin≤LNk≤Lk,NmaxLk,Rmin=∑i∈RmR,ik,Lk,Rmax=∑i∈RMR,ikLk,Qmin=∑j∈QmQ,jk,Lk,Qmax=∑j∈QMQ,jkLk,Nmin=∑l∈NmN,lk,Lk,Nmax=∑l∈NMN,lk(10)
将其转换为增广拉格朗日形式：
Ψ(Xk,Lk,λk)=C(LRk)+C(LQk)+C(LNk)−∑i∈RΥ(xik,ωik)−∑j∈QΛ(yjk,ωjk)−∑l∈NΠ(zlk,ωlk)+λRk(∑i∈Rxik−LRk)+λQk(∑j∈Qyjk−LQk)+λNk(∑l∈Nzlk−LNk)+ρ12∥∑i∈Rxik−LRk∥22+ρ22∥∑j∈Qyjk−LQk∥22+ρ32∥∑l∈Nzlk−LNk∥22\begin{array}{l} \Psi\left(X_{k}, L_{k}, \lambda_{k}\right)=\mathbb{C}\left(L_{\mathbb{R}}^{k}\right)+\mathbb{C}\left(L_{\mathbb{Q}}^{k}\right)+\mathbb{C}\left(L_{\mathbb{N}}^{k}\right) \\ -\sum_{i \in \mathbb{R}} \Upsilon\left(x_{i}^{k}, \omega_{i}^{k}\right)-\sum_{j \in \mathbb{Q}} \Lambda\left(y_{j}^{k}, \omega_{j}^{k}\right)-\sum_{l \in \mathbb{N}} \Pi\left(z_{l}^{k}, \omega_{l}^{k}\right) \\ +\lambda_{\mathbb{R}}^{k}\left(\sum_{i \in \mathbb{R}} x_{i}^{k}-L_{\mathbb{R}}^{k}\right)+\lambda_{\mathbb{Q}}^{k}\left(\sum_{j \in \mathbb{Q}} y_{j}^{k}-L_{\mathbb{Q}}^{k}\right)+\lambda_{\mathrm{N}}^{k}\left(\sum_{l \in \mathbb{N}} z_{l}^{k}-L_{\mathbb{N}}^{k}\right) \\ +\frac{\rho_{1}}{2}\left\|\sum_{i \in \mathbb{R}} x_{i}^{k}-L_{\mathbb{R}}^{k}\right\|_{2}^{2}+\frac{\rho_{2}}{2}\left\|\sum_{j \in \mathbb{Q}} y_{j}^{k}-L_{\mathbb{Q}}^{k}\right\|_{2}^{2}+\frac{\rho_{3}}{2}\left\|\sum_{l \in \mathbb{N}} z_{l}^{k}-L_{\mathbb{N}}^{k}\right\|_{2}^{2} \end{array} Ψ(Xk,Lk,λk)=C(LRk)+C(LQk)+C(LNk)−∑i∈RΥ(xik,ωik)−∑j∈QΛ(yjk,ωjk)−∑l∈NΠ(zlk,ωlk)+λRk(∑i∈Rxik−LRk)+λQk(∑j∈Qyjk−LQk)+λNk(∑l∈Nzlk−LNk)+2ρ1∥∥∑i∈Rxik−LRk∥∥22+2ρ2∥∥∥∑j∈Qyjk−LQk∥∥∥22+2ρ3∥∥∑l∈Nzlk−LNk∥∥22
其中，Xk=(xik,yik,zlk)X_{k}=\left(x_{i}^{k}, y_{i}^{k}, z_{l}^{k}\right)Xk=(xik,yik,zlk) and Lk=(LRk,LOk,LNk)L_{k}=\left(L_{\mathbb{R}}^{k}, L_{\mathbb{O}}^{k}, L_{\mathbb{N}}^{k}\right)Lk=(LRk,LOk,LNk)。
则ADMM法为求解以下问题：
(xik)t+1:=arg⁡min⁡mR,ik≤xik≤MR,ik,i∈R,k∈κΨ((xik,(yjk)t,(zlk)t),(Lk)t,(λk)t)(yjk)t+1:=arg⁡min⁡mQ,jk≤xjk≤MQ,jk,j∈Q,k∈κΨ(((xik)t+1,yjk,(zlk)t),(Lk)t,(λk)t)(zlk)t+1:=arg⁡min⁡mNk≤zlk≤MNk,l∈N,k∈κΨ(((xik)t+1,(yjk)t+1,zlk),(Lk)t,(λk)t)(LRk)t+1:=arg min⁡Lk,Rmin⁡≤LRk≤Ikk,Rman⁡,k∈κΨ((Xk)t+1,(LRk,(LQk)t,(LNk)t),(λk)t)(LQk)t+1:=arg⁡min⁡Ik,0max⁡≤L0k≤Lk,0max⁡,k∈κΨ((Xk)t+1,((LRk)t+1,LQk,(LNk)t),(λk)t)(LNk)t+1:=arg⁡min⁡Lk,Nm≤LN≤Lk,Nm,k∈κΨ((Xk)t+1,((LRk)t+1,(LQk)t+1,LNk),(λk)t)(λRk)t+1:=[(λRk)t+ρ1(∑i∈R(xik)t+1−(LRk)t+1)]+(λQk)t+1:=[(λQk)t+ρ2(∑j∈Q(yjk)t+1−(LQk)t+1)]+(λNk)t+1:=[(λNk)t+ρ3(∑l∈N(zlk)t+1−(LNk)t+1)]+\begin{array}{l} \left(x_{i}^{k}\right)^{t+1}:=\underset{m_{\mathbb{R}, i}^{k} \leq x_{i}^{k} \leq M_{\mathbb{R}, i}^{k}, i \in \mathbb{R}, k \in \kappa}{\arg \min } \Psi\left(\left(x_{i}^{k},\left(y_{j}^{k}\right)^{t},\left(z_{l}^{k}\right)^{t}\right),\left(L_{k}\right)^{t},\left(\lambda_{k}\right)^{t}\right) \\ \left(y_{j}^{k}\right)^{t+1}:=\underset{m_{\mathbb{Q}, j}^{k} \leq x_{j}^{k} \leq M_{\mathbb{Q}, j}^{k}, j \in \mathbb{Q}, k \in \kappa}{\arg \min } \Psi\left(\left(\left(x_{i}^{k}\right)^{t+1}, y_{j}^{k},\left(z_{l}^{k}\right)^{t}\right),\left(L_{k}\right)^{t},\left(\lambda_{k}\right)^{t}\right) \\ \left(z_{l}^{k}\right)^{t+1}:=\underset{m_{N}^{k} \leq z_{l}^{k} \leq M_{N}^{k}, l \in \mathbb{N}, k \in \kappa}{\arg \min } \Psi\left(\left(\left(x_{i}^{k}\right)^{t+1},\left(y_{j}^{k}\right)^{t+1}, z_{l}^{k}\right),\left(L_{k}\right)^{t},\left(\lambda_{k}\right)^{t}\right)\\ \left(L_{\mathbb{R}}^{k}\right)^{t+1}:=\underset{L_{k, R}^{\min } \leq L_{\mathbb{R}}^{k} \leq I_{k_{k}, \mathrm{R}}^{\operatorname{man}}, k \in \kappa}{\argmin } \Psi\left(\left(X_{k}\right)^{t+1},\left(L_{\mathbb{R}}^{k},\left(L_{\mathbb{Q}}^{k}\right)^{t},\left(L_{\mathbb{N}}^{k}\right)^{t}\right),\left(\lambda_{k}\right)^{t}\right)\\ \left(L_{\mathbb{Q}}^{k}\right)^{t+1}:=\underset{I_{k, 0}^{\max } \leq L_{0}^{k} \leq L_{k, 0}^{\max }, k \in \kappa}{\arg \min } \Psi\left(\left(X_{k}\right)^{t+1},\left(\left(L_{\mathbb{R}}^{k}\right)^{t+1}, L_{\mathbb{Q}}^{k},\left(L_{\mathbb{N}}^{k}\right)^{t}\right),\left(\lambda_{k}\right)^{t}\right)\\ \begin{array}{l} \left(L_{\mathbb{N}}^{k}\right)^{t+1}:=\underset{L_{k, N}^{m} \leq L_{\mathbb{N}} \leq L_{k, N}^{m}, k \in \kappa}{\arg \min } \Psi\left(\left(X_{k}\right)^{t+1},\left(\left(L_{\mathbb{R}}^{k}\right)^{t+1},\left(L_{\mathbb{Q}}^{k}\right)^{t+1}, L_{\mathbb{N}}^{k}\right),\left(\lambda_{k}\right)^{t}\right) \\ \left(\lambda_{\mathbb{R}}^{k}\right)^{t+1}:=\left[\left(\lambda_{\mathbb{R}}^{k}\right)^{t}+\rho_{1}\left(\sum_{i \in \mathbb{R}}\left(x_{i}^{k}\right)^{t+1}-\left(L_{\mathbb{R}}^{k}\right)^{t+1}\right)\right]^{+} \\ \left(\lambda_{\mathbb{Q}}^{k}\right)^{t+1}:=\left[\left(\lambda_{\mathbb{Q}}^{k}\right)^{t}+\rho_{2}\left(\sum_{j \in \mathbb{Q}}\left(y_{j}^{k}\right)^{t+1}-\left(L_{\mathbb{Q}}^{k}\right)^{t+1}\right)\right]^{+} \\ \left(\lambda_{N}^{k}\right)^{t+1}:=\left[\left(\lambda_{\mathbb{N}}^{k}\right)^{t}+\rho_{3}\left(\sum_{l \in \mathbb{N}}\left(z_{l}^{k}\right)^{t+1}-\left(L_{\mathbb{N}}^{k}\right)^{t+1}\right)\right]^{+} \end{array} \end{array} (xik)t+1:=mR,ik≤xik≤MR,ik,i∈R,k∈κargminΨ((xik,(yjk)t,(zlk)t),(Lk)t,(λk)t)(yjk)t+1:=mQ,jk≤xjk≤MQ,jk,j∈Q,k∈κargminΨ(((xik)t+1,yjk,(zlk)t),(Lk)t,(λk)t)(zlk)t+1:=mNk≤zlk≤MNk,l∈N,k∈κargminΨ(((xik)t+1,(yjk)t+1,zlk),(Lk)t,(λk)t)(LRk)t+1:=Lk,Rmin≤LRk≤Ikk,Rman,k∈κargminΨ((Xk)t+1,(LRk,(LQk)t,(LNk)t),(λk)t)(LQk)t+1:=Ik,0max≤L0k≤Lk,0max,k∈κargminΨ((Xk)t+1,((LRk)t+1,LQk,(LNk)t),(λk)t)(LNk)t+1:=Lk,Nm≤LN≤Lk,Nm,k∈κargminΨ((Xk)t+1,((LRk)t+1,(LQk)t+1,LNk),(λk)t)(λRk)t+1:=[(λRk)t+ρ1(∑i∈R(xik)t+1−(LRk)t+1)]+(λQk)t+1:=[(λQk)t+ρ2(∑j∈Q(yjk)t+1−(LQk)t+1)]+(λNk)t+1:=[(λNk)t+ρ3(∑l∈N(zlk)t+1−(LNk)t+1)]+

2.5.需求侧响应机制

如果某级用户供能不足，可以实现供应调剂，但应满足以下限制：
Lkmax⁡,g<∑i∈R,j∈Q,l∈Nxik+yjk+zlk(24)L_{k}^{\max , g}<\sum_{i \in \mathbb{R}, j \in \mathbb{Q}, l \in \mathbb{N}} x_{i}^{k}+y_{j}^{k}+z_{l}^{k}\tag{24} Lkmax,g<i∈R,j∈Q,l∈N∑xik+yjk+zlk(24)
接下来考虑供应能力的问题，令：
Lˉk=∑i∈Rxik∗+∑j∈Qyjk∗+∑l∈Nzlk∗(25)\bar{L}_{k}=\sum_{i \in \mathbb{R}} x_{i}^{k^{*}}+\sum_{j \in \mathbb{Q}} y_{j}^{k^{*}}+\sum_{l \in \mathbb{N}} z_{l}^{k^{*}}\tag{25} Lˉk=i∈R∑xik∗+j∈Q∑yjk∗+l∈N∑zlk∗(25)
或者：
Lˉk=∑i∈Rmax⁡{xik∗,vik}+∑j∈Qmax⁡{yjk∗,vjk}+∑l∈Nmax⁡{zlk∗,vlk}(26)\bar{L}_{k}=\sum_{i \in \mathbb{R}} \max \left\{x_{i}^{k^{*}}, v_{i}^{k}\right\}+\sum_{j \in \mathbb{Q}} \max \left\{y_{j}^{k^{*}}, v_{j}^{k}\right\}+\sum_{l \in \mathbb{N}} \max \left\{z_{l}^{k^{*}}, v_{l}^{k}\right\}\tag{26} Lˉk=i∈R∑max{xik∗,vik}+j∈Q∑max{yjk∗,vjk}+l∈N∑max{zlk∗,vlk}(26)
如果Lˉk\bar{L}_{k}Lˉk不满足8式下界，说明当前级别用户需求过低，运行发电机的成本高于收益，电力供应商会直接把这部分电力需求转移给其他供应商。反之亦然。
用户优先级：
Industrial users ≻Commercial users ≻Residential users (27)\text { Industrial users } \succ \text { Commercial users } \succ \text { Residential users }\tag{27} Industrial users ≻ Commercial users ≻ Residential users (27)
则主要算法如下：

3.原文实验

参考文献

[1] Li J, Liu B, Sun Q, et al. Load shifting of a supplier-based demand response of multi-class subscribers in smart grid[J]. International Journal of Industrial and Systems Engineering, 2021, 37(4): 506-526.

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