#机械臂动力学–加速度

线加速

在博客《速度与矢量的微分》的式（5-12）描述了坐标系{A}下的速度矢量BQ^B QBQ，当坐标系{A}的原点与坐标系{B}的原点重合时，速度矢量BQ^BQBQ可以表示为
AVQ=BARBVQ+AΩB×BARBQ(6-5)^AV_Q=\ ^A_BR^BV_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ \tag{6-5} AVQ= BARBVQ+AΩB× BAR BQ(6-5)
方程左边描述的是矢量AQ^AQAQ随时间变化的情况。由于两个坐标系的原点重合，因此可以把式（6-5）改写成
ddt(BARBQ)=BARBVQ+AΩB×BARBQ(6-6)\frac{d}{dt}(^A_BR\ ^BQ)=\ ^A_BR^BV_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ \tag{6-6} dtd(BAR BQ)= BARBVQ+AΩB× BAR BQ(6-6)
对式（6-5）求导，当坐标系{A}和坐标系{B}的原点重合时，可得到BQ^B QBQ的加速度在坐标系{A}中的表达式
AV˙Q=ddt(BARBVQ)+AΩ˙B×BARBQ+AΩB×ddt(BARBQ)(6-7)^A\dot V_Q=\frac{d}{dt}(^A_BR\ ^BV_Q)+^A\dot \Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ +^A \Omega_B\times \frac{d}{dt} (^A_BR\ ^BQ) \tag{6-7} AV˙Q=dtd(BAR BVQ)+AΩ˙B× BAR BQ+AΩB×dtd(BAR BQ)(6-7)
对上式第一项和最后一项应用式（6-6），那么式（6-7）右边可表示为
BARBV˙Q+AΩB×BARBVQ+AΩ˙B×BARBQ+AΩB×(BARBVQ+AΩB×BARBQ)(6-8)\ ^A_BR^B\dot V_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BV_Q+^A\dot \Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ\\ +^A\Omega_B\times (\ ^A_BR^BV_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ) \tag{6-8} BARBV˙Q+AΩB× BAR BVQ+AΩ˙B× BAR BQ+AΩB×( BARBVQ+AΩB× BAR BQ)(6-8)
进一步整理得到
AV˙Q=BARBV˙Q+2AΩB×BARBVQ+AΩ˙B×BARBQ+AΩB×(AΩB×BARBQ)(6-9)^A\dot V_Q= \ ^A_BR^B\dot V_Q+2\ ^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BV_Q+^A\dot \Omega_B \times \ ^A_BR\ ^BQ \\ +^A\Omega _B\times(^A\Omega _B\times ^A_BR ^BQ)\tag{6-9} AV˙Q= BARBV˙Q+2 AΩB× BAR BVQ+AΩ˙B× BAR BQ+AΩB×(AΩB×BARBQ)(6-9)
最后，为了将结论推广到两个坐标系原点不重合的一般情况，这里需要附加一个表示坐标系{B}原点线加速度的项，最终得到一般表达式：
AV˙Q=AV˙BORG+BARBV˙Q+2AΩB×BARBVQ+AΩ˙B×BARBQ+AΩB×(AΩB×BARBQ)(6-10)^A\dot V_Q=^A\dot V_{BORG}+ \ ^A_BR^B\dot V_Q+2\ ^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BV_Q \\ +^A\dot \Omega_B \times \ ^A_BR\ ^BQ +^A\Omega _B\times(^A\Omega _B\times ^A_BR ^BQ)\tag{6-10} AV˙Q=AV˙BORG+ BARBV˙Q+2 AΩB× BAR BVQ+AΩ˙B× BAR BQ+AΩB×(AΩB×BARBQ)(6-10)
特别地，当BQ^BQBQ为常量时，即
BVQ=BV˙Q=0(6-11)^BV_Q=^B\dot V_Q=0 \tag{6-11} BVQ=BV˙Q=0(6-11)
这时，式（6-10）简化为
AV˙Q=AV˙BORG+AΩ˙B×BARBQ+AΩB×(AΩB×BARBQ)(6-12)^A\dot V_Q=^A\dot V_{BORG}+^A\dot \Omega_B \times \ ^A_BR\ ^BQ +^A\Omega _B\times(^A\Omega _B\times ^A_BR ^BQ)\tag{6-12} AV˙Q=AV˙BORG+AΩ˙B× BAR BQ+AΩB×(AΩB×BARBQ)(6-12)

角加速度

假设坐标系{B}以角速度AΩB^A\Omega_BAΩB相对于坐标系{A}转动，同时坐标系{C}以角速度BΩC^B\Omega_CBΩC相对于坐标系{B}转动。为求AΩC^A\Omega_CAΩC,在坐标系{A}中进行矢量相加
AΩC=AΩB+BARBΩC(6-13)^A\Omega_C=^A\Omega_B+\ ^A_BR\ ^B\Omega_C \tag{6-13} AΩC=AΩB+ BAR BΩC(6-13)
对上式求导有
AΩ˙C=AΩ˙B+ddt(BARBΩC)(6-14)^A\dot \Omega_C=^A\dot\Omega_B+\frac{d}{dt}(^A_BR^B\Omega_C) \tag{6-14} AΩ˙C=AΩ˙B+dtd(BARBΩC)(6-14)
将式（6-6）代入上式右侧最后一项有
AΩ˙C=AΩ˙B+AΩB×BARBΩC+BARBΩ˙C(6-15)^A\dot \Omega_C=^A\dot\Omega_B+^A\Omega_B\times^A_BR^B\Omega_C+^A_BR^B\dot \Omega_C \tag{6-15} AΩ˙C=AΩ˙B+AΩB×BARBΩC+BARBΩ˙C(6-15)
上式用于计算操作臂连杆的角速度。

参考文献

[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.

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