几种典型静电场的场强、电势

电偶极子

电势
φ=14πε0p⃗⋅r⃗r3\varphi = \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon_0 } \frac { \vec { p } \cdot \vec { r } } { r ^ { 3 } }φ=4πε01r3p⋅r
场强
E=−∇φ=14πε0(−p⃗r3+3p⃗⋅r⃗r5r⃗)\boldsymbol { E } =-\nabla\varphi= \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \left( \frac { - \vec { p } } { r ^ { 3 } } + \frac { 3 \vec { p } \cdot \vec { r } } { r ^ { 5 } } \vec { r } \right)E=−∇φ=4πε01(r3−p+r53p⋅rr)
在匀强电场中所受的力矩
M→=p→×E→\overrightarrow { \boldsymbol { M } } = \overrightarrow { \boldsymbol { p } } \times \overrightarrow { \boldsymbol { E } }M=p×E

使电偶极子转向与场强相同的方向

电势能
W=−p⃗⋅E⃗W = - \vec { p } \cdot \vec { E }W=−p⋅E

均匀带电直导线

电流线密度为 λ\lambdaλ

（1）有限长，长度 lll

B端延长线上距离为a 的P点的电势

φP=∫0lλ4πε0dxl+a−x=λ4πε0ln⁡l+aa\varphi _ { P } = \int _ { 0 } ^ { l } \frac { \lambda } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { d x } { l + a - x } = \frac { \lambda } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \ln \frac { l + a } { a }φP=∫0l4πε0λl+a−xdx=4πε0λlnal+a

(2)无限长

场强
E⃗=λ2πε0re^r\vec { E } = \frac { \lambda } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } r } \hat { e } _ { r }E=2πε0rλe^r
电势
不能取无穷远点为电势零点。取 φQ=0\varphi_Q=0φQ=0
φP=∫PQE⃗⋅dl⃗=∫rr0λdr2πε0r=λ2πε0ln⁡r0r\varphi _ { P } = \int _ { P } ^ { Q } \vec { E } \cdot \mathbf { d } \vec { l }= \int _ { r } ^ { r _ { 0 } } \frac { \lambda \mathbf { d } r } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } r } = \frac { \lambda } { 2 \pi \varepsilon _ { 0 } } \ln \frac { r _ { 0 } } { r }φP=∫PQE⋅dl=∫rr02πε0rλdr=2πε0λlnrr0

均匀带电圆环

均匀带电圆盘

轴线上：
φ=σ2ε0(R2+x2−x)\varphi = \frac { \sigma } { 2 \varepsilon _ { 0 } } \left( \sqrt { R ^ { 2 } + x ^ { 2 } } - x \right)φ=2ε0σ(R2+x2−x)
E⃗=−∇φ=−dφdxi^=σ2ε0(1−xR2+x2)i^\vec { E } = - \nabla \varphi = - \frac { \mathbf { d } \varphi } { \mathbf { d } x } \hat { \boldsymbol { i } } = \frac { \sigma } { 2 \varepsilon _ { 0 } } \left( 1 - \frac { x } { \sqrt { \boldsymbol { R } ^ { 2 } + \boldsymbol { x } ^ { 2 } } } \right) \hat { \boldsymbol { i } }E=−∇φ=−dxdφi^=2ε0σ(1−R2+x2x)i^