信号与系统中冲激函数匹配法怎么理解

先来看一道信号与系统时域分析微分方程的题

$\frac{d}{dt}r(t)+3r(t)=2\frac{d}{dt}e(t)$

求冲激响应 $h(t)$

求解过程：

首先得明确 $r(t)$ 是响应信号， $e(t)$ 是激励信号

1将冲激信号认作激励信号，即代入 $e(t)=\delta (t)$ ,那么，响应信号就是 $r(t)=h(t)$

$\frac{d}{dt}h(t)+3h(t)=2\frac{d}{dt}\delta (t)\Rightarrow \frac{d}{dt}h(t)+3h(t)=2 {\delta}'(t)$

2解由两部分，特解和通解组成

对 $\frac{d}{dt}h(t)+3h(t)=0$ 求通解，对 $\frac{d}{dt}h(t)+3h(t)=2 {\delta}'(t)$ 求特解

由特征方程知道通解是 $h(t)=Ce^{-3t},t\geq0 _{+}$ ， $C$ 为常数

下面就要用到冲激函数匹配法了。

方程右边有 ${\delta}'(t)$ 奇异函数项，因此该方程左边也该有这个奇异函数项对吧，而 $h(t)$ 项如果含有 ${\delta}'(t)$ 项，那么 $\frac{d}{dt}h(t)$ 项是 $h(t)$ 的导数，因此 $\frac{d}{dt}h(t)$ 项必定含有 ${\delta}''(t)$ 项，和方程右边不能配平，所以只能 $\frac{d}{dt}h(t)$ 项含有 ${\delta}'(t)$ 项
该方程对应的电路应该是这一图了，当然，电源应该是冲击偶函数，而不是冲激函数，电感和电阻的值也不是这个。然后，电感上的压降就是r(t),在闭合开关发生冲激的瞬间，电感上的电流不会发生跳跃，但压降会。那么，该怎么得出 $0_{-}$ 闭合开关后到 $0_{+}$ 时L1上的压降变化呢，我们把从 $0_{-}$ 到 $0_{+}$ 的压降变化设为 $\Delta u(t)$ ，和阶跃函数很像对吧，但是 $\Delta u(t)$ 只负责 $0_{-}$ 闭合开关后到 $0_{+}$ 的变化。
然后我们就可以用待定系数法列方程代入了。 $\frac{d}{dt}h(t)$ 项含有 ${\delta}'(t)$ ， $h(t)$ 肯定含有 $\delta(t)$ 项，因此设 $\frac{d}{dt}h(t)=a{\delta }'(t)+b\delta (t)+c\Delta u(t)$ ，而 $h(t)$ $\frac{d}{dt}h(t)$ 的积分，因此 $h(t)=a\delta (t)+b\Delta u(t)$
代入原方程，左右各个项都配平， $a{\delta }'(t)+b\delta (t)+c\Delta u(t)+3a\delta (t)+3b\Delta u(t)={\delta }'(t)$ 就有对 ${\delta}'(t)$ 项和 $\delta (t)$ 项，分别有 $a=2,3a+b=0$ ,故 $b=-6$ 。所以特解是 $h(t)=2\delta (t)-6\Delta u(t)$
再回到特解+通解，则 $h(t)=Ce^{-3t}+2\delta (t)$ ,其中 $0_{-}$ 闭合开关后到 $0_{+}$ , $h(t)$ $0_{-}$ 闭合开关后到 $0_{+}$ 时跳跃了-6个单位，因此 $Ce^{-3t}=-6$ ，得到 $C=-6$ 。
说一下为什么 $\frac{d}{dt}h(t)$ 只可能单含有冲激函数，从冲激函数的性质看，任何函数与冲激函数的乘积（除的性质不清楚）都会使得冲击函数被消去，只留下无关的项比如 $f(t){\delta }'(t)=-{f}'(t)$ ，如果是和某个函数的线性组合呢？通解不就是？一个微分方程的解由通解和特解两部分组成，通解都有了，你还要搞一个出来？那么为什么要设 $\Delta u(t)$ 呢，因为通解 $h(t)=Ce^{-3t},t\geq0 _{+}$ 隐藏了一个信息 $h(t)=0,t<0$ ，通解在 $t=0$ 处有一个跳跃， $\Delta u(t)$ 就是设这个跳跃的

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