1.导数概念

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f’(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作。导数和极限两者在数学上是等价的。

2.常见的导数

y=c(常数),y’=0
y=pow(x,a),y’=a·pow(x,a-1)
y=pow(a,x),y’=pow(a,x)·ln(a)
y=log(a,x),y’=1/(xlna);特别的ln(x)=1/x
y=sin(x),y’=cos(x)
y=cos(x),y’=-sin(x)
y=tan(x),y’=1/(cos(x)^2)

3.导数的四则运算

(u+v)’=u’+v’
(u-v)’=u’-v’
(uv)’=u’v+uv’
(u/v)’=(u’v-uv’)/v^2

4.复合函数的运算法则

若y=f(g(x)), 则导数y’=f’(g(x))·g’(x), 前提是g在x处可导，f在g(x)处可导

5.莱布尼兹公式

若u(x),v(x)均n阶可导，则

6.导数的性质

单调性

（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

凸凹性

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

7.参考

https://github.com/sladesha/Reflection_Summary

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机器学习数学基础学习笔记（1）导数

1.导数概念

2.常见的导数

3.导数的四则运算

4.复合函数的运算法则

5.莱布尼兹公式

6.导数的性质

单调性

凸凹性

7.参考

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