洛谷：P2832 行路难（堆优化Dijkstra（错解）bfs（正解） + 记录路径）

洛谷：P2832 行路难

此题的最短路约束不只是边权，还有边数（每经过一条边，之后经过的边权值都 +1+1+1 ）
从期望的角度分析，我们肯定是想 尽可能走的路程越短，走得路径数越少
可以把 维护期望 的操作交给 优先队列（也就是小根堆）
每个放入堆中的点，都携带一个走到此处的过程所经过的路径数，更新到下一个点的距离要考虑上路径数的影响，保证最短路同时维护到两个约束
该题的数据范围允许使用堆优化版Djikstra

void dj(int s) {mem(dist, 0x3f);dist[s] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;q.push({ 0,{s,0} });while (q.size()){PII t = q.top();q.pop();int ver = t.second.first, tim = t.second.second;if (st[ver])continue;st[ver] = true;for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (dist[j] > dist[ver] + w[i] + tim) {dist[j] = dist[ver] + w[i] + tim;//用边权加边数更新fa[j] = ver;//记录路径if (!st[j])q.push({ dist[j],{j,tim + 1} });}}}
}

对于这样的一个图，起点为点1，我们假设 往右走虽然边很多，但边权值都很小，往左走边少但边权很大
假设 到 J点J点J点时 右边路径的累计距离 dist 比左边路径小 （但只小一点） 的话，fa数组就会记录右边路径；但如果 J点到终点DJ点到终点DJ点到终点D 还有一些路径数，因为 右边路径累计的边数很多 ，就导致最终到达终点时右边路径的 dist 不如左边路径！
正向记录路径都是记录当前点的上一个结点（父节点），而父节点会因为期望的局限性而标记错误（没法一眼得知未来）
那我们反向记录路径会怎么样呢？
同理每个点记录上一个结点（父节点），但这个父节点相当于正向路径时的下一个点，可以发现不会因为局限性而标记错误，毕竟是从结果倒推
所以此题就就能完美解决啦

以上全部都是错误思路，从堆中拿出任意一点时，我们不能说用该点当前状态能最优地更新之后点，因为状态除了距离还有一个边数，有可能当前距离长但边数小，对未来更新的期望更好

反向记录路径只是能过这题水得不能再水的数据而已…没有任何含义

智慧数据：

事实上此题我们应该用 dp 的思路，保留任何一种得出的状态（用队列），取队头再次去更新其他状态，直到再无法更新为止；

而此时的路径记录，就巧妙地从记录父节点变成记录队列下标，这样能完美处理局限性。

此题没有卡时间，只是在考察路径记录，阴间得很

Code:Code:Code:

#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define cinios (ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0))
#define sca scanf
#define pri printf
#define forr(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define rfor(a,b,c) for(int a=b;a>=c;a--)
#define oper(a) (operator<(const a& ee)const)
#define endl "\n"
using namespace std;typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;double DNF = 1e17;
const int N = 10010, M = 400010, MM = 110;
int INF = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
ll LNF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m, k, T, S, D, K;
int h[N], ne[M], e[M], w[M], idx;
int dist[N];void add(int a, int b, int x) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = x, h[a] = idx++;
}struct book
{int f, tim, ver, id;//记录累计距离，边数、点编号、从哪个状态id转移过来
}q[M];//状态数累计起来可能很多，开大一点
int id;void bfs(int x) {mem(dist, 0x3f);int hh = 1, tt = 1;dist[x] = 0;q[tt++] = { 0,0,x,-1 };while (hh < tt){book t = q[hh++];for (int i = h[t.ver]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (dist[j] > t.f + t.tim + w[i]) {dist[j] = t.f + t.tim + w[i];q[tt++] = { dist[j],t.tim + 1,j,hh - 1 };//从hh-1状态转移过来if (j == n)id = tt - 1;//直到记录到最后的一个dist[n]，此时肯定最小}}}
}void find(int x) {if (x == -1)return;find(q[x].id);cout << q[x].ver << ' ';
}int main() {cinios;cin >> n >> m;mem(h, -1);while (m--){int a, b, x;cin >> a >> b >> x;add(a, b, x);}bfs(1);cout << dist[n] << endl;find(id);return 0;
}
/*
8 8
1 2 1
2 3 1
3 4 8
4 8 8
3 5 2
5 6 2
7 8 2
6 7 2
*/

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