一文搞懂积分不等式证明(积分证明题总结笔记3/3)

积分证明题是考研中难度较大的板块，很多学弟学妹们希望我出一篇总结文章，故作本文，希望对大家有所帮助。

本文所涉及题目，均是来自市面上常见题册（李林880，张宇1000题，汤家凤1800等）

由于内容较多，故分为三部分：

等式证明（点击进入）
由积分判断函数零点个数（点击进入）
不等式证明（本文内容）

积分不等式证明：

从市面上常见题册中总结了证明积分不等式的七种常见的方法。汇总如下：

下面主要围绕这七种方法进行最全面的讲解，让同学们全方位搞懂这几个方法。

1.构造函数用单调性做

使用场景：
题目中有单调字眼，或者有 f′(x)＞0f'(x) ＞0f′(x)＞0（或＜0＜0＜0）时考虑使用

解题步骤：
a.将所证不等式进行移项，并设其中一个字母为 x ，进而构造函数。(注意 x 的范围)
b.将构造的函数进行求导，得到其单调性。(其中有可能会用到中值定理)
c.求解出 x 处于某一范围时，函数的最值，最后变形即证明完成。

例题讲解：
以下面例题为例详细讲解该方法：

设函数时一定要注意函数的定义域。这两道题都是设b为x(当然，如果你想设a为x也是可以的)，所以由 b≥ab\geq ab≥a 得 x≥ax\geq ax≥a 。

2.构造二重积分

使用场景：
证明式子中有两函数相乘的积分，且这两个函数在积分区域都是单调时，考虑用该方法。

解题步骤：
设所证明的不等式中含有 ∫abf(x)g(x)dx\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx∫abf(x)g(x)dx
a.构造式子： [f(x)−f(y)][g(x)−g(y)][f(x)-f(y)][g(x)-g(y)][f(x)−f(y)][g(x)−g(y)] (利用单调性判断这个式子和0之间的大小关系)
b.积分：在区域 D={(x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b}D=\left\{ (x,y)|a\leq x\leq b, a\leq y \leq b\right\}D={(x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b} 上积分
c.化简得证

例题讲解：
用下面例题详细讲解该方法：

3.利用图像解决

使用场景：
题目条件中有 f(x),f′′(x)f(x),f''(x)f(x),f′′(x) 与0之间的关系。并且所证式子中有 ∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫abf(x)dx ，考虑使用。
这里其实还有一个隐藏要求：小题！因为大题用图像判断没法写过程。

解题步骤：
a.画出对应式子所表示的面积
b.比较面积大小，并判断对应式子的大小，继而得证

例题讲解：
用下面例题详细讲解该方法：

该类型题目最有难度的就是如何表达式子所代表的面积。这需要大家的积累：
例如：看到两个函数值相加再乘某个东西，就要想到会不会是某梯形的面积。

4.分部积分

使用场景：
不等式有 ∫abu(k)vdx\int_{a}^{b}u^{(k)}vdx∫abu(k)vdx 和 M∫abudxM\int_{a}^{b}udxM∫abudx ，其中： max⁡[a,b]∣v(k)∣=M\max_{[a,b]}{|v^{(k)}|}=Mmax[a,b]∣v(k)∣=M ，考虑使用。
注：常见的 u(k)=1u^{(k)}=1u(k)=1 ，并且有时题目会将 ∫abudx\int_{a}^{b}udx∫abudx 算出结果，进而 M∫abudxM\int_{a}^{b}udxM∫abudx 转变为一个常数乘以 M 。

解题步骤：
a.分部积分，次数由证明式子决定
b.利用不等式： ∣∫abΔdx∣≤∫ab∣Δ∣dx|\int_{a}^{b} \Delta dx| \leq \int_{a}^{b}| \Delta |dx∣∫abΔdx∣≤∫ab∣Δ∣dx 放缩
c.化简得证

例题讲解：
以下面例题为例详细讲解该方法：

分部积分的功效其实和泰勒展开类似，建立起函数和若干阶导数之间的关系。在本题中就是建立起 f,f′,f′′f,f',f''f,f′,f′′ 之间的关系（这也决定了要用两次分部积分）。然后利用不等式将 f′′f''f′′ 和所给的最大值建立联系，最终解决本题。
同时，本题就是对应前面所说的，将 ∫abudx\int_{a}^{b}udx∫abudx 算出结果，进而转变为一个常数乘以 M 。

5.利用牛顿-莱布尼茨公式

使用场景：
积分不等式中函数的最高阶导数在积分内部时考虑使用
例如：不等式中含有 f,f′,f′′f,f',f''f,f′,f′′ ，其中最高阶导数是 f′′f''f′′ 。因此当这个不等式中有形如 ∫abf′′(x)dx\int_{a}^{b}f''(x)dx∫abf′′(x)dx 或者 ∫ab∣f′′(x)∣dx\int_{a}^{b}|f''(x)|dx∫ab∣f′′(x)∣dx 时，可以考虑使用。

例题讲解

本题所证明不等式中含有 fff 和 f′f'f′ ,最高阶导数为 f′f'f′ 。而其在积分内部: ∫ab∣f′(x)∣dx\int_{a}^{b}|f'(x)|dx∫ab∣f′(x)∣dx ，所以考虑使用牛顿-莱布尼茨解决。

6.柯西不等式

使用场景：
含有某函数平方积分时考虑使用。
公式为： ∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx≥[∫abf(x)g(x)dx]2\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx\ge[\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx]^{2}∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx≥[∫abf(x)g(x)dx]2

例题讲解：

柯西不等式的功效说白了就是去除积分号里面的平方。对于本题而言就是把 ∫01f′2(x)dx\int_{0}^{1}f'^{2}(x)dx∫01f′2(x)dx 里面的平方去除，然后建立起 ∫01f′(x)dx\int_{0}^{1}f'(x)dx∫01f′(x)dx 和条件 f(1)−f(0)f(1)-f(0)f(1)−f(0) 之间的关系，如何建立？牛顿-莱布尼茨公式为你效劳。

从这两题中我们可以发现两个特点：
1.都是设柯西不等式中的 g(x)=1g(x)=1g(x)=1，这也是常见的设法。
2.都用了牛顿-莱布尼茨公式。
细细观察这两题，都满足：积分不等式中函数的最高阶导数在积分内部。所以都使用了牛顿-莱布尼茨公式也不意外。

7.泰勒展开(包含拉格朗日)

使用场景：
题目中含有 max{∣Δ∣}max\left\{ |\Delta| \right\}max{∣Δ∣}，或者题目中含有二阶导时，可以尝试使用。
拉格朗日由于可以看成是泰勒展开的特殊形式(n=0n=0n=0)，因此也被归为此种方法。

泰勒展开方法总结：
用泰勒展开证明积分不等式的方法多种多样，所以我在这里总结几种练习册上常用的，如下：

当然做题仅靠这些是不够的，还需记住以下几个常见不等式：

例题讲解：
泰勒展开类型1：

在区域中点展开有个好处，即积分之后可以去除与所证明不等式无关的 f′f'f′ 。

泰勒展开类型2：
已知两个端点的值，证明积分和一阶导最大值之间的关系。
证明流程：在区间端点处展开 →\rightarrow→ 分段积分合并→\rightarrow→利用不等式得结果

这种类型的题目在练习册中见的还蛮多的，所以可以将其进行拓展，如下图：

本题就是对上面那个进行了拓展（其中 a=0,b=1a=0,b=1a=0,b=1 就变成了上面那道题）

泰勒展开类型3：
本类题可以通过设变限积分为某个函数，去除不等式中的积分号，从而使积分不等式转变为普通的不等式，此时再按照泰勒展开证明不等式的套路来即可。

泰勒展开类型4：

本题所证不等式中最高阶导数（ f′′f''f′′ ）在积分内部，因此考虑使用牛顿-莱布尼茨。尝试之后发现直接使用不行。但是，我们可以利用最开始讲的常见不等式的第三条进行解决。

到此结束~
我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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