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一文搞懂k近邻（k-NN）算法(一)

前几天和德川一起在学习会上讲解了k-NN算法，这里进行总结一下，力争用最

通俗的语言讲解以便更多同学的理解。

本文目录如下：

1.k近邻算法的基本概念，原理以及应用

2.k近邻算法中k的选取，距离的度量以及特征归一化的必要性

3.k近邻法的实现：kd树原理的讲解

4.kd树详细例子讲解

5.kd树的不足以及最差情况举例

6.k近邻方法的一些个人总结

1k近邻算法的基本概念，原理以及应用

k近邻算法是一种基本分类和回归方法。本篇文章只讨论分类问题的k近邻法。

k近邻算法，即是给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例，这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分类到这个类中。（这就类似于现实生活中少数服从多数的思想）根据这个说法，咱们来看下引自维基百科上的一幅图：

如上图所示，有两类不同的样本数据，分别用蓝色的小正方形和红色的小三角形表示，而图正中间的那个绿色的圆所标示的数据则是待分类的数据。

这也就是我们的目的，来了一个新的数据点，我要得到它的类别是什么？好的，下面我们根据k近邻的思想来给绿色圆点进行分类。

• 如果k=3，绿色圆点的最邻近的3个点是2个红色小三角形和1个蓝色小正方形，少数从属于多数，基于统计的方法，判定绿色的这个待分类点属于红色的三角形一类。

• 如果k=5，绿色圆点的最邻近的5个邻居是2个红色三角形和3个蓝色的正方形，还是少数从属于多数，基于统计的方法，判定绿色的这个待分类点属于蓝色的正方形一类。

从上面例子我们可以看出，k近邻的算法思想非常的简单，也非常的容易理解，那么我们是不是就到此结束了，该算法的原理我们也已经懂了，也知道怎么给新来的点如何进行归类，只要找到离它最近的k个实例，哪个类别最多即可。

哈哈，没有这么简单啦，算法的核心思想确实是这样，但是要想一个算法在实际应用中work，需要注意的不少额~比如k怎么确定的，k为多少效果最好呢？所谓的最近邻又是如何来判断给定呢？

哈哈，不要急，下面会一一讲解！

2k近邻算法中k的选取以及特征归一化的重要性

选取k值以及它的影响

k近邻的k值我们应该怎么选取呢？

如果我们选取较小的k值，那么就会意味着我们的整体模型会变得复杂，容易发生过拟合！恩~结论说完了，太抽象了吧你，不上图讲解号称通俗讲解的都是流氓~

好吧，那我就上图来讲解假设我们选取k=1这个极端情况，怎么就使得模型变得复杂，又容易过拟合了呢？

假设我们有训练数据和待分类点如下图：

上图中有俩类，一个是黑色的圆点，一个是蓝色的长方形，现在我们的待分类点是红色的五边形。

好，根据我们的k近邻算法步骤来决定待分类点应该归为哪一类。我们由图中可以得到，很容易我们能够看出来五边形离黑色的圆点最近，k又等于1，那太好了，我们最终判定待分类点是黑色的圆点。

由这个处理过程我们很容易能够感觉出问题了，如果k太小了，比如等于1，那么模型就太复杂了，我们很容易学习到噪声，也就非常容易判定为噪声类别，而在上图，如果，k大一点，k等于8，把长方形都包括进来，我们很容易得到我们正确的分类应该是蓝色的长方形！如下图：

所谓的过拟合就是在训练集上准确率非常高，而在测试集上准确率低，经过上例，我们可以得到k太小会导致过拟合，很容易将一些噪声（如上图离五边形很近的黑色圆点）学习到模型中，而忽略了数据真实的分布！

如果我们选取较大的k值，就相当于用较大邻域中的训练数据进行预测，这时与输入实例较远的（不相似）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误，k值的增大意味着整体模型变得简单。

k值增大怎么就意味着模型变得简单了，不要急，我会解释的！哈哈。

我们想，如果k=N（N为训练样本的个数）,那么无论输入实例是什么，都将简单地预测它属于在训练实例中最多的类。这时，模型是不是非常简单，这相当于你压根就没有训练模型呀！直接拿训练数据统计了一下各个数据的类别，找最大的而已！这好像下图所示：

我们统计了黑色圆形是8个，长方形个数是7个，那么哈哈，如果k=N，我就得出结论了，红色五边形是属于黑色圆形的（明显是错误的好不，捂脸！）

这个时候，模型过于简单，完全忽略训练数据实例中的大量有用信息，是不可取的。

恩，k值既不能过大，也不能过小，在我举的这个例子中，我们k值的选择，在下图红色圆边界之间这个范围是最好的，如下图：

（注：这里只是为了更好让大家理解，真实例子中不可能只有俩维特征，但是原理是一样的1，我们就是想找到较好的k值大小）

那么我们一般怎么选取呢？李航博士书上讲到，我们一般选取一个较小的数值，通常采取 交叉验证法来选取最优的k值。（也就是说，选取k值很重要的关键是实验调参，类似于神经网络选取多少层这种，通过调整超参数来得到一个较好的结果）

距离的度量

在上文中说到，k近邻算法是在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例，这k个实例的多数属于某个类，我们就说预测点属于哪个类。

定义中所说的最邻近是如何度量呢？我们怎么知道谁跟测试点最邻近。这里就会引出我们几种度量俩个点之间距离的标准。

我们可以有以下几种度量方式：

其中当p=2的时候，就是我们最常见的欧式距离，我们也一般都用欧式距离来衡量我们高维空间中俩点的距离。

在实际应用中，距离函数的选择应该根据数据的特性和分析的需要而定，一般选取p=2欧式距离表示，这不是本文的重点。

恩，距离度量我们也了解了，下面我要说一下各个维度归一化的必要性！

特征归一化的必要性

首先举例如下，我用一个人身高(cm)与脚码（尺码）大小来作为特征值，类别为男性或者女性。我们现在如果有5个训练样本，分布如下：

A [(179,42),男]、 B [(178,43),男]、 C [(165,36)女]、D [(177,42),男] 、E [(160,35),女]

通过上述训练样本，我们看出问题了吗？

很容易看到第一维身高特征是第二维脚码特征的4倍左右，那么在进行距离度量的时候，我们就会偏向于第一维特征。这样造成俩个特征并不是等价重要的，最终可能会导致距离计算错误，从而导致预测错误。口说无凭，举例如下：

现在我来了一个测试样本 F(167,43)，让我们来预测他是男性还是女性，我们采取k=3来预测。

下面我们用欧式距离分别算出F离训练样本的欧式距离，然后选取最近的3个，多数类别就是我们最终的结果，计算如下：

由计算可以得到，最近的前三个分别是C,D,E三个样本，那么由C,E为女性，D为男性，女性多于男性得到我们要预测的结果为女性。

这样问题就来了，一个女性的脚43码的可能性，远远小于男性脚43码的可能性，那么为什么算法还是会预测F为女性呢？那是因为由于各个特征量纲的不同，在这里导致了身高的重要性已经远远大于脚码了，这是不客观的。

所以我们应该让每个特征都是同等重要的！这也是我们要归一化的原因！归一化公式如下：

讲到这里，k近邻算法基本内容我们已经讲完了。除去之后为了提高查找效率提出的kd树外，算法的原理，应用等方面已经讲解完毕，由于每篇文章内容不宜太多，kd树等知识下篇讲解，这里总结一下本文讲的内容。

3本文的一点总结

1.我们提出了k近邻算法，算法的核心思想是，即是给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例，这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分类到这个类中。
更通俗说一遍算法的过程，来了一个新的输入实例，我们算出该实例与每一个训练点的距离（这里的复杂度为0(n)比较大，所以引出了下文的kd树等结构），然后找到前k个，这k个哪个类别数最多，我们就判断新的输入实例就是哪类！

2.与该实例最近邻的k个实例，这个最近邻的定义是通过不同距离函数来定义，我们最常用的是欧式距离。

3.为了保证每个特征同等重要性，我们这里对每个特征进行归一化。

4.k值的选取，既不能太大，也不能太小，何值为最好，需要实验调整参数确定！

本文讲解结束了，真心希望对大家理解有帮助！欢迎大家指错交流~

参考：

李航博士《统计学习方法》

【量化课堂】一只兔子帮你理解 kNN

从K近邻算法、距离度量谈到KD树、SIFT+BBF算法 - 结构之法 算法之道 - 博客频道 - CSDN.NET

致谢：

德川，继豪，皓宇，施琦

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