数据结构与算法-基础（十二）B 树

摘要

B 树是一种平衡的多路搜索树，在添加、删除和搜索等一些操作上和二叉搜索树是同样的逻辑，除此之外 4 阶 B 树在结构上和红黑树也是相似的。所以了解 B 树，可以更好的切入学习红黑树。

红黑树是自平衡树之一，在数据结构中有比较重要的地位。同时也是入手学习比较复杂的一种结构。所以在学习红黑树之前，先学习 B 树，当作铺垫。那么为什么 B 树可以作为学习红黑树的铺垫呢？

先说结论，红黑树和 4 阶 B 树在结构上是大致一样的，所以学习完 B 树可以更好的理解红黑树。下面开始学习 B 树。

B 树

B 树是一种平衡的多路搜索树，比较多的应用到文件系统、数据库场景。B 树中的一个节点可以存放超过 2 个元素，并且可以有超过 2 个子节点。这么看来似乎超出二叉树的范畴，为什么要搞出这样的树结构？

因为 B 树也是符合二叉搜索树的一些性质，而且每个节点的所有子树高度是一致的，也就是平衡的，可以存储多个元素，有多个子节点情况，会让 B 树高度变小一些。

B 树结构中的元素符合二叉搜索树结构排序，即当前节点的元素大于左子树所有节点的元素，小于右子树所有节点的元素。

m 阶 B 树性质（m ≥\geq≥ 2）

m 通俗讲就是每个节点最大可以有多少个子节点。这里要特别说明，B 树中的每个节点可以有多个元素，不是一个节点只有一个元素。

如果一个节点可以存储的元素个数为 x，那么（以 4 阶 B 树为例）：

m 阶 B 树性质（m ≥\geq≥ 2）	4 阶 B 树
根节点的元素个数为：1 ≤\leq≤ x ≤\leq≤ m - 1	根节点元素个数是 1～ 3 个
非根节点的元素个数为：m / 2(向下取整) -1 ≤\leq≤ x ≤\leq≤ m - 1	非根节点的元素个数是 1～3 个
若有子节点，子节点的个数 y = x + 1	子节点的个数就是元素个数 x - 1 个
根节点若有子节点，子节点的个数就是 2 ≤\leq≤ y ≤\leq≤ m	根节点的子节点个数就是 2～4 个

B 树与二叉搜索树

B 树和二叉搜索树在逻辑上是等价的。二叉搜索树从最底层叶子节点向上合并成为超级节点（超过 2 个元素的节点）。如下图所示：

B 树的操作

搜索同二叉搜索树一样，从根节点开始比较，相等就命中结束，不相等就根据比较节点元素的大小到对应的子树中比较。

添加元素是添加到叶子节点，添加完成之后就要判断节点上的元素数量是否超过个数限制（m / 2(向下取整) ≤\leq≤ x ≤\leq≤ m - 1），若超出则称为上溢。

解决上溢的大致步骤就是：

将该节点的中间元素向上合并，元素个数为单数，就取中间元素，若为双数，就取中间的两个元素中的随意一个。
将该节点的剩余元素拆分为两个子节点
当节点合并到父节点时，就要判断合并后的父节点是否存在上溢，若存在，就返回步骤 1 往下继续操作。若不存在，结束。

删除元素要考虑的情况比较多，最简单的情况就是删除的元素在叶子节点，这种情况就直接删除该元素就好。

若删除的元素不是在叶子节点，则需要找到该元素节点的前驱或者后继，作替换之后再处理（同二叉搜索树操作一样）。当出现删除元素之后，节点中元素个数不满足 m / 2(向下取整) -1 ≤\leq≤ x ≤\leq≤ m - 1 的时候，称为下溢情况。

当出现下溢情况时，大致的处理步骤是：

看节点的兄弟节点是否移除一个之后，兄弟节点的元素个数是否满足 m / 2(向下取整) -1 ≤\leq≤ x ≤\leq≤ m - 1 ，若满足就借过来，合并到父节点，父节点中拿出一个元素给到当前节点（要依然满足二叉搜索树的性质）
若不满足 m / 2(向下取整) -1 ≤\leq≤ x ≤\leq≤ m - 1，就需要把父节点中的元素拿出来和左右子节点合并。然后需要再判断父节点是否有下溢情况，若存在，返回步骤 1，若不存在，结束。

4 阶 B 树

4 阶 B 树在结构上和红黑树是很相似的。4 阶 B 树 所有节点能存储的元素个数 x，1 ≤\leq≤ x ≤\leq≤ 3。所有非叶子节点的子节点个数 y，2 ≤\leq≤ x ≤\leq≤ 4。

了解 4 阶 B 树，学习红黑树会更好切入。这里也是为学习红黑树做准备。