浅谈 Fhq-Treap

问题引入：Luogu P3369 普通平衡树

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

插入 x x x 数

删除 x x x 数(若有多个相同的数，因只删除一个)

查询 x x x 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 + 1 +1 +1 )

查询排名为 x x x 的数

求 x x x 的前驱(前驱定义为小于 x x x，且最大的数)

求 x x x 的后继(后继定义为大于 x x x，且最小的数)

拿到这道题，你觉得暴力该怎么做？
v e c t o r vector vector 二分查找 + 暴力插入可以拿到 60 60 60 分，为什么会只有 60 60 60 呢？思考一下，我们的瓶颈在于插入是 O ( n ) O(n) O(n) 的，那么什么数据结构可以做到复杂度很低的插入呢？那就是树。

考虑建立一颗二叉搜索树，对于任意节点 p p p 满足 v a l l c p < v a l p < v a l r c p val_{lc_p}<val_p<val_{rc_p} vallcp<valp<valrcp ，其中 l c p lc_p lcp 与 r c p rc_p rcp 分别指 p p p 的左儿子和右儿子。

那么给出一组测试数据，看看建成的树会是什么样子：

给出操作 4 4 4 的代码：

inline int findxth(int root,int x)
{if(siz[L[root]]+1==x) return root;if(siz[L[root]]>=x) return findkth(L[root],x);return findkth(R[root],x-siz[L[root]]-1);
}

在代码中， s i z siz siz 树组保存的是子树的大小， L L L 与 R R R 分别储存做儿子与右儿子的下标，所以当前数在子树中的排名是 s i z L r o o t + 1 siz_{L_{root}}+1 sizLroot+1，那么分类讨论：

x ≤ s i z L r o o t x\leq siz_{L_{root}} x≤sizLroot，那么以 r o o t root root 为根的的子树中，第 x x x 大是其左子树上的第 x x x 大；
x = s i z L r o o t + 1 x=siz_{L_{root}}+1 x=sizLroot+1，那么以 r o o t root root 为根的的子树中，第 x x x 大就是 r o o t root root
x > s i z L r o o t + 1 x> siz_{L_{root}}+1 x>sizLroot+1，那么那么以 r o o t root root 为根的的子树中，第 x x x 大是其左子树上的第 x − s i z L r o o t − 1 x-siz_{L_{root}}-1 x−sizLroot−1 大。

思考一下为什么最后是 x − s i z L r o o t − 1 x-siz_{L_{root}}-1 x−sizLroot−1：其实是因为前 s i z L r o o t + 1 siz_{L_{root}}+1 sizLroot+1 个都在左子树与根上。

那么怎么卡掉这种数据结构呢？

每次插入数单调递增或递减，那么就会退化成这样的链：

那么复杂度就退化为 O ( n ) O(n) O(n) 的了，还不如写个暴力。

那我们怎么解决这种情况呢？我们需要代入堆的性质：
对于一个堆，根节点的权一定小于任意儿子的权。

怎么把这个性质代入二叉搜索树中呢？对于普通的 T r e a p Treap Treap ，我们引入两种旋转操作，左旋与右旋，每个节点赋予一个随机的权，通过不断的左旋与右旋，满足其堆的性质，并且保留其二叉搜索树的性质，那么这棵树是期待平衡的。

但在这片文章中，我们不讨论左旋与右旋，运用大佬 F h q Fhq Fhq 自创的 F h q − T r e a p Fhq-Treap Fhq−Treap ，来维护其堆的性质。

先来看其核心操作：分裂与合并：

Split 分裂

分裂有两种，分别为 按值分裂 与 按排名分裂

按值分裂

按值分裂指把一颗树按给定的权值 p o s pos pos 分裂成两颗子树，我们称为左树与右树，满足：左树上的权值都小于等于 p o s pos pos ，右树上的权值大于 p o s pos pos，那么怎么处理呢？

比如在当前树中：

我们按 p o s = 15 pos=15 pos=15 分割：
首先，这个东西肯定是递归的，我们先尝试对根处理：
24 > 15 24>15 24>15 ，那么它一定属于右树的：

我们突然现，因为 24 > 15 24>15 24>15 ，由于二叉搜索树的性质，右儿子的权值总是比根大，那么 24 24 24 的右子树上的所有权值一定是大于 15 15 15 的，那么它们都属于右子树的：

我们现在只需要对 24 24 24 的左子树进行操作：

发现 13 < 15 13<15 13<15，那么 13 13 13 的左子树上的权值也一定小于 15 15 15，那么分裂树变成这样：

对 13 13 13 的右子树，即 14 14 14 进行判断，那么分裂结果如下：

给出递归代码：

inline void split(int p,int v,int &l,int &r){if(!p) {l=r=0;return;}//没有了，返回else if(val[p]<=v) l=p,split(R[p],v,R[p],r);//当前节点属于左树，那么左子树也一定属于左树，只需在右子树中再递归判断else r=p,split(L[p],v,l,L[p]);//同理upd(p);
}

此处 l , r l,r l,r 是引用的，那么只需在外定义两个整数，在分裂时当做参数传入，执行完 l , r l,r l,r 即为左右树的根。
F h q − t r e a p Fhq-treap Fhq−treap 的好处在于你只需要想好一半，另一半只需要复制粘贴再改为相反的即可。

注： u p d upd upd 函数是用来维护子树大小的，给出代码：

inline void upd(int p)
{siz[p]=siz[L[p]]+siz[R[p]]+1;
}

按排名分裂

给出代码，原理同上给出操作 4 4 4 的代码，自行思考：

inline void split(int p, int k, int &x, int &y)
{if(!p){x = y = 0;return;}else if(r <= siz[L[p]]) y=p,split(L[p],k,x,L[p]);else x=id,split(R[p],k-siz[L[p]]-1,R[p],y);upd(p);
}

那么 F h q − T r e a p Fhq-Treap Fhq−Treap 核心代码已经写完，接下来切题

Luogu P3369 普通平衡树：

插入一个数 x x x

inline void ins(int a)
{split(rt,a,x,y);cre(tmp,a);rt=merge(merge(x,tmp),y);
}

按值 a a a 分裂为两个树，创立新节点，节点序号为 t m p tmp tmp（此处为引用），值为 a a a。
给出 c r e cre cre 创建节点代码：

inline void cre(int &p,int v){val[++tot]=v;siz[tot]=1;rand(rd[tot]);p=tot;
}

t o t tot tot 为当前的节点数， r a n d rand rand 中的参数为引用的，即为给其赋予一个伪随机值，给出 r a n d rand rand 函数代码：

int rnd=1345252;
void rand(int &x){x=(rnd=(rnd*123044)%1000000000);}

删除一个数 x x x

inline void del(int a){split(rt,a,x,y);split(x,a-1,x,z);z=merge(L[z],R[z]);rt=merge(merge(x,z),y);
}

经过两次分裂， z z z 树上所有节点权值都为 x x x，因为只需要删除一个，那么考虑删除根，合并左右节点，记得再合并回去，此处 r t rt rt 为整树的根

查询 x x x 数的排名

inline int findrank(int a){split(rt,a-1,x,y);tmp=siz[x]+1;rt=merge(x,y);return tmp;
}

分裂后左树上所有节点权小于 x x x ，右树上所有节点权值大于等于 x x x ，那么 x x x 的排名即为左树大小 + 1 +1 +1

与二叉搜索树原理相同

inline int findkth(int p,int k){if(siz[L[p]]+1==k) return p;if(siz[L[p]]>=k) return findkth(L[p],k);return findkth(R[p],k-siz[L[p]]-1);
}

找 x x x 数的前驱

inline int front(int a){split(rt,a-1,x,y);tmp=findkth(x,siz[x]);rt=merge(x,y);return tmp;
}

即为分裂后左树（左树权值小于 x x x）中，排名为左树大小的权值

找 x x x 数的后继

inline int back(int a){split(rt,a,x,y);tmp=findkth(y,1);rt=merge(x,y);return tmp;
}

思路与 5 5 5 无异

注意：分裂后一定要合并回来

给出完整代码：

#include <stdio.h>
#define Maxn 200004
int L[Maxn],R[Maxn];
int val[Maxn],siz[Maxn],rd[Maxn],tmp;
int rt,tot,x,y,z,rnd=1345252;
void rand(int &x){x=(rnd=(rnd*123044)%1000000000);}
inline void upd(int p){siz[p]=siz[L[p]]+siz[R[p]]+1;
}
inline void cre(int &p,int v){val[++tot]=v;siz[tot]=1;rand(rd[tot]);p=tot;
}
inline void split(int p,int v,int &l,int &r){if(!p) {l=r=0;return;}else if(val[p]<=v) l=p,split(R[p],v,R[p],r);else r=p,split(L[p],v,l,L[p]);upd(p);
}
inline int merge(int l,int r){if(!l||!r) return l+r;if(rd[l]<rd[r]){R[l]=merge(R[l],r);upd(l);return l;}L[r]=merge(l,L[r]);   upd(r);return r;
}
inline void ins(int a){split(rt,a,x,y);cre(tmp,a);rt=merge(merge(x,tmp),y);
}
inline void del(int a){split(rt,a,x,y);split(x,a-1,x,z);z=merge(L[z],R[z]);rt=merge(merge(x,z),y);
}
inline int findrank(int a){split(rt,a-1,x,y);tmp=siz[x]+1;rt=merge(x,y);return tmp;
}
inline int findkth(int p,int k){if(siz[L[p]]+1==k) return p;if(siz[L[p]]>=k) return findkth(L[p],k);return findkth(R[p],k-siz[L[p]]-1);
}
inline int front(int a){split(rt,a-1,x,y);tmp=findkth(x,siz[x]);rt=merge(x,y);return tmp;
}
inline int back(int a){split(rt,a,x,y);tmp=findkth(y,1);rt=merge(x,y);return tmp;
}
int main(){int Q,opt,a;scanf("%d",&Q);while(Q--){scanf("%d%d",&opt,&a);if(opt==1) ins(a);else if(opt==2) del(a);else if(opt==3) printf("%d\n",findrank(a));else if(opt==4) printf("%d\n",val[findkth(rt,a)]);else if(opt==5) printf("%d\n",val[front(a)]);else printf("%d\n",val[back(a)]);}
}

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浅谈 Fhq-Treap

Split 分裂

按值分裂

按排名分裂

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