超赞OFDM入门

原文：《给”小白”图示讲解OFDM的原理》

以下为学习总结部分：

章节一：时域上的OFDM

　　OFDM的”O”代表着”正交”，那么就先说说正交吧。

　　首先说说最简单的情况，sin(t)和sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】，而正弦函数又是波的最直观描述，因此我们就以此作为介入点。既然本文说的是图示，那么我们就用图形的方式来先理解一下正交性。

　　在下面的图示中，在[0,2π]的时长内，采用最易懂的幅度调制方式(AM)传送信号：

    sin(t)传送信号a，因此发送a·sin(t)；sin(2t)传送信号b，因此发送b·sin(2t)。

　　其中：

sin(t)和sin(2t)的用处是用来承载信号，是收发端预先规定好的信息，在本文中一律称为子载波；
调制在子载波上的幅度信号a和b，才是需要发送的信息。因此在信道中传送的信号为a·sin(t)+b·sin(2t)；
在接收端，分别对接收到的信号作关于sin(t)和sin(2t)的积分检测，就可以得到a和b了。（以下图形采用google绘制）

图一：发送a信号的sin(t)

图二：发送b信号的sin(2t)【注意：在区间[0,2π]内发送了两个完整波形】

图三：发送在无线空间的叠加信号a·sin(t)+b·sin(2t)

图四：接收信号乘sin(t)，积分解码出a信号。【如前文所述，传送b信号的sin(2t)项，在积分后为0】

图五：接收信号乘sin(2t)，积分解码出b信号。【如前文所述，传送a信号的sin(t)项，在积分后为0】

图六：流程图

数学中是如此定义正交的，数学证明了它们的正交性，那么他们就是正交的，【他们就可以互不干扰的承载各自的信息】。

上面的图示虽然简单，但是却是所有复杂的基础。

1.1下一步，将sin(t)和sin(2t)扩展到更多的子载波序列

{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)} (例如k=16，256，1024等)，应该是很好理解的事情。
　　其中，2π是常量；Δf是事先选好的载频间隔，也是常量。1t,2t,3t,…,kt保证了正弦波序列的正交性。

1.2再下一步，将cos(t)也引入。

　　容易证明，cos(t)与sin(t)是正交的，也与整个sin(kt)的正交族相正交。同样，cos(kt)也与整个sin(kt)的正交族相正交。因此发射序列扩展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),…,cos(2π·Δf·kt)}也就顺理成章了。

1.3经过前两步的扩充，选好了2组正交序列sin(kt)和cos(kt)，这只是传输的”介质”。

　　真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即sin(t),sin(2t),…,sin(kt)分别幅度调制a1,a2,…,ak信号,cos(t),cos(2t),…,cos(kt)分别幅度调制b1,b2,…,bk信号。这2n组互相正交的信号同时发送出去，在空间上会叠加出怎样的波形呢？做简单的加法如下：

f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
a2·sin(2π·Δf·2t) +
a3·sin(2π·Δf·3t) +
…
ak·sin(2π·Δf·kt) +
b1·cos(2π·Δf·t) +
b2·cos(2π·Δf·2t) +
b3·cos(2π·Δf·3t) +
…
bk·cos(2π·Δf·kt) +
= ∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：实数的表达】

为了方便进行数学处理，上式有复数表达形式如下：
f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：复数的表达，这编辑器找不到上角标】

　　上面的公式可以这样看：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终在接收端看到的信号就是f(t)。接收端收到杂糅信号f(t)后，再在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。

　　然后，多看看公式1-1和公式1-2！！这就是傅里叶级数嘛。如果将t离散化，那么就是离散傅立叶变换。所以才有OFDM以FFT来实现的故事。将在下面的章节进行更多的描述。

　　遵循古老的传统，F表示频域，f表示时域，所以可以从公式1-2中看出，每个子载波上面调制的幅度，就是频域信息。类似的说法是：OFDM传输的是频域信号。这种说法有些别扭，但是很多教程或文章会使用这样的说明方式，就看读者如何理解了。如果纯粹从公式或者子载波来看，这种说法其实也是很直接的阐述了。
　　
　　上面1.1-1.3的扩展，可如下图所示：
　　
　　图七：时域上的OFDM系统图

1.4 还有这一步吗？其实是有的。

　　“小白”你可以先想想，想不到的话先往下看，因为这需要在频域中考量，所以我写在后面了。【也可参考[1]】

　　将上述的时域分析配上LTE的实现，有如下情况：
　　【注1：本段描述需要有LTE物理层的基本知识，如果看不明白，请暂时跳过，看完整篇文章后再回看】
　　【注2：LTE并非时域的实现，下面仅仅是套用LTE的参数，做一个参考分析】

　　子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us （OFDM符号周期:T=1/Δf），可以发现，15kHz*66.67us=1，即基带上一个OFDM symbol的发送时间正好发送一个一次谐波的完整波形。对于10M(总带宽B)的LTE系统，采用的是1024个子载波，但是只有中间600个(有效子载波个数Nc)（不含最中间的直流）子载波被用于传送数据。在一个OFDM symbol的时间内（即66.67us)，靠近中间的两个一次谐波传输一个完整波形，再靠外一点的两个二次谐波传输两个完整波形，以此类推至最外面的两个300次谐波传输了300个完整的波形。在这66.67us内，600个子载波互相正交，其上分别承载了600个复数信号。

　　上面的说法有点啰嗦，不如图示来得直观。本来准备再画一图的，不过一来上面已经有了类似的图，实是大同小异；二来，600个子载波，也太多了点。。。

　　OK，说到这里，从时域上面来看OFDM，其实是相当简洁明快讨人喜欢的。不过，一个系统若要从时域上来实现OFDM，难度太大，时延和频偏都会严重破坏子载波的正交性，从而影响系统性能。这点在各种教材文章中都会有提及，我就不赘述了。

　　下面将转入频域来描述OFDM，由于频域不甚直观，的确会稍稍让人费解。不过只要时刻想着时域子载波间的叠加，一切都会好起来。

章节二：频域上的OFDM

　　第一章节时域上的讨论开始于OFDM中的”O”；本章节频域上我们从”FDM”开始。
　　先图例一个常规FDM的系统图：

图11：常规FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰

　　为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。

图12：靠得很近的FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了（电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落），两路信号互相之间可能已经产生干扰了

　　还能再近些吗？可以的。这就是OFDM的来历啊，近到完全等同于奈奎斯特带宽（后面有详述），使频带的利用率达到了理论上的最大值。

图13：继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。神奇的OFDM

　　上面三个图的确有点小儿科，不过我在这里花时间画了三张图，总还是有所考量的：
a. 作为上一个章节和本章节之间的补充和连接，说明一下OFDM在频域上面的表现，亦即OFDM的本源来历。
b. 引导思考：信号的带宽是多少？
c. 引导思考：OFDM正交频谱叠加部分到底有多宽呢？结合1.4，先想想，再往下看，会更好。

　　再次回到正轨，请回看第一节中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。
　　

让我们看看图一至图三中的每个步骤在频域上是如何表现的。

　　首先来看sin(t)。”小白”呀”小白”，你且说说sin(t)的频谱是啥呀？”小白”弱弱的说：是一个冲激。是的，sin(t)是个单一的正弦波，代表着单一的频率，所以其频谱自然是一个冲激。不过其实图一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之内的一小段。无限长度的信号被限制在一小截时间之内，【就好比从一个完整的人身上逮下一根头发，然后把整个人都丢掉，以发代人】其频谱也不再是一个冲激了。

　　对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号（即sin(x)/x信号）。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱如下：

图21：限定在[0,2π]内的a·sin(t)信号的频谱，即以sin(t)为载波的调制信号的频谱

　　sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：

图22：限定在[0,2π]内的b·sin(2t)信号的频谱，即以sin(2t)为载波的调制信号的频谱

　　将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，如下：

图23：a·sin(t)+b·sin(2t)信号的频谱

　　图23和图13，均是频域上两个正交子载波的频谱图。比一下，发现了吗？不太一样！

　　是的，想必你已经想起来了，这是因为基带信号在传输前，一般会通过脉冲成型滤波器的结果。比如使用"升余弦滚降滤波器"后，图23所示的信号就会被修理成图13所示的信号了。这样可以有效的限制带宽外部的信号，在保证本路信号没有码间串扰的情况下，既能最大限度的利用带宽，又能减少子载波间的各路信号的相互干扰。这也是1.4中没有提及的，更多的可参考[1]。

　　贴士：脉冲成型滤波器作用于频域，可以”看作”时域中的每个码元都是以类似sinc信号发出的。没必要纠结于发送端码元的时域波形，只需要知道在接收端通过合适的采样就可以无失真的恢复信号就OK咯。

奈奎斯特第一准则

这里用到的是奈奎斯特第一准则，在下面的框框内会稍作描述：

奈奎斯特第一准则请自行google，这里说说其推论：码元速率为1/T(即每个码元的传输时长为T)，进行无码间串扰传输时，所需的最小带宽称为奈奎斯特带宽。
　　对于理想低通信道，奈奎斯特带宽W = 1/(2T)
　　对于理想带通信道，奈奎斯特带宽W = 1/T

　　在下面的图31中，可以看出信号的实际带宽B是要大于奈奎斯特带宽W（低通的1/(2T)或者带通的1/T）的，这就是理想和现实的距离。
　　补充说明：本文提到的”带宽”，也即约定俗成的带宽理解方式，指的是信号频谱中>=0的部分。在从低通到带通的搬移过程中，因为将原信号负频率部分也移出来了（也可理解为同乘e(j2πfct) + e(-j2πfct)的结果，见参考[2]）【注：没有上角标和下角标的编辑器，真不爽。不过，你应该看得懂的】，所以带宽翻倍了。如下图所示：

图31：内涵丰富的图，请参看上面和下面的说明文字

　　上面专门用框框列出奈奎斯特第一准则，还有一个重要目的就是说明下频带利用率的问题。频带利用率是码元速率1/T和带宽B(或者W)的比值。

　　理想情况下，低通信道频带利用率为2Baud/Hz；带通信道频带利用率同样为2Baud/Hz（负频率移出来后，和正频率一样可以独立携带信号）
　　实际情况下，因为实际带宽B要大于奈奎斯特带宽W，所以实际FDM系统的频带利用率会低于理想情况。

　　【说到这里，终于可以图穷匕见了】而OFDM的子载波间隔最低能达到奈奎斯特带宽，也就是说（在不考虑最旁边的两个子载波情况下），OFDM达到了理想信道的频带利用率。

图32：OFDM正交子载波，载频间距为奈奎斯特带宽，保证了最大的频带利用率

　　将上述的频域分析配上LTE的实现，有如下情况：
　　【注：本段描述需要有LTE物理层的基本知识】

　　子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us （OFDM符号周期:T=1/Δf）。在10MHz(总带宽B)信道上，1ms的子帧共传输14个OFDM symbol【不是15个，留空给CP了】，每一个OFDM symbol携带600个复数信息(有效子载波个数Nc)，因此：
　　1. 从整个系统来看，波特率为600*14*2/1ms = 16.8MBaud，占据带宽10MHz，因此带宽利用率为16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情况。【注：一是CP占用了每个OFDM Symbol约1/15的资源，二是10MHz的频带并不是满打满算的用于传输数据，其边界频带需要留空以减少与邻近信道的干扰】
　　2. 单从OFDM一个symbol来看，波特率为600*2/66.7us = 18MBaud，占据带宽600*15kHz=9MHz (Nc*Δf=Bw有效带宽)【不考虑边界子载波带外问题】，因此其带宽利用率为18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的讨论。
　　附：5M带宽的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即码率为3.84M*2 = 7.68MBaud，带宽5M，所以带宽利用率为7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略逊于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脉冲成型采用滚降系数为0.22的升余弦滤波器，奈奎斯特带宽为3.84M】

章节三：用IFFT实现OFDM

　　前两章，第一节是从时域上来说子载波正交的原理；第二节是从频域上来解释子载波正交后，达到理想频带利用率的特性。
　　不过”小白”的卡壳，似乎并不在于最基本的正交原理和频带利用率上，反而是IFFT变换中，充斥的各种时域频域角色变换让其眼花缭乱。

　　个人觉得要理解IFFT实现OFDM，最好的办法还是看公式。比如第一章节中的公式1-1和公式1-2，配上时域波形图的叠加。当然，这里的IFFT需要将时域离散化，因此公式IFFT ≈ IDFT –>

fn = 1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n为时域离散后的序号，N为总的IFFT个数，n∈[1,N]】

　　关于公式3-1的理解方法，可以是这样的。其中一种理解方式是联系第一章节的【公式1-2 f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 】：可以发现公式3-1等号右侧所表达的物理意义和公式1-2是相同的，均代表了不同子载波e(j·2π·k·n/N)发送各自的信号Fk，然后在时域上的叠加形成fn，只不过现在叠加出来的时域不是连续波形，而是离散的时序抽样点。

　　另一种更容易，更可爱的理解方式是：在一个OFDM symbol的时长T内，用N个子载波各自发送一个信号F(k)（k∈[1,N]），等效于直接在时域上连续发送fn（n∈[1,N]）N个信号，每个信号发送T/N的时长。

　　在IFFT实现OFDM中，发送端添加了IFFT模块、接收端添加了FFT模块。IFFT模块的功能相当于说：别麻烦发送N个子载波信号了，我直接算出你们在空中会叠加成啥样子吧；FFT模块的功能相当于说：别用老式的积分方法来去除其余的正交子载波了，我帮你一次把N个携带信号全算出来吧。就是这样，IFFT实现OFDM的系统用”数学的方法”，在发送端计算信号的叠加波形，在接收端去除正交子载波，从而大大简化了系统的复杂度。

图八：用IFFT实现OFDM。请自行对比图七

补充章节：从频谱上来看正交性

　　本文最开始发表时是没有这一段的，因为原文已然十分自恰，已将OFDM的原理说的非常清楚到位了。然而，这一段的内容却是别的文章中讲解OFDM时经常出现的桥段，因此觉得还是有必要补充陈述一下自己的观点。
　　【注：本小节为补充章节，与本文逻辑没有必然联系，可直接略过。】
　　从正文章节中，可以发现作者的思路：从时域角度讲解子载波的正交性；从频域角度讲解OFDM的频带利用率。作者觉得这是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、网络上，还有一种非常主流的讲解方式：从频域上“直观的”看待子载波的正交性。比如下面这个图：

图51：从OFDM频谱看待正交性（本图来自网络）

　　这种观点的说法是：在每个子载波的抽样点上，其它的子载波信号抽样值均为0（即上图中的subcarrier Nulls对应某个子载波的Subcarrier Peak）。这种说法在图示上有非常醒目的直观效果，所以是各教材讲义中的常客，但是至少从作者的角度来看，这种说法在涉及到后面的解调信号时，将变得非常难以理解和说明。所以本文最开始的版本中是没打算写本小节的。
　　如果你看到这里，觉得这种说法正中下怀，那么恭喜你。
　　如果你看到这里，觉得这种说法已经让你的脑袋成了浆糊，那么可以回顾第一章节：时域上的正交性，然后继续阅读下面部分以解毒。

　　时域上的正交性和频域上的正交性之间的关系该如何联系起来呢？回顾前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】，推广到更一般的情况是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在区间[0, 1/Δf]上正交（注：教材上一般写为u(t)在[-T/2,T/2]区间上怎么怎么着，本文就用不着那么学术了）。可以看出，这里有一个关键的参数Δf：它既是频域上子载波的间距，又确定了时域上的信号传输时间。回顾时域频域转换图：
图51：从OFDM频谱看待正交性（本图来自网络，比我画的图好些，还有文字说明）

　　这种观点的说法是：在每个子载波的抽样点上，其它的子载波信号抽样值均为0（即上图中的subcarrier Nulls对应某个子载波的Subcarrier Peak）。这种说法在图示上有非常醒目的直观效果，所以是各教材讲义中的常客，但是至少从作者的角度来看，这种说法在涉及到后面的解调信号时，将变得非常难以理解和说明。所以本文最开始的版本中是没打算写本小节的。
　　如果你看到这里，觉得这种说法正中下怀，那么恭喜你。
　　如果你看到这里，觉得这种说法已经让你的脑袋成了浆糊，那么可以回顾第一章节：时域上的正交性，然后继续阅读下面部分以解毒。

　　时域上的正交性和频域上的正交性之间的关系该如何联系起来呢？回顾前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【证明：sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】，推广到更一般的情况是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在区间[0, 1/Δf]上正交（注：教材上一般写为u(t)在[-T/2,T/2]区间上怎么怎么着，本文就用不着那么学术了）。可以看出，这里有一个关键的参数Δf：它既是频域上子载波的间距，又确定了时域上的信号传输时间。回顾时域频域转换图：

图52：同前面的图21，时域波形和频域的转换

　　联系上图的时频转换，可以发现Δf既确定了子载波本身(即上图中第一排的两个图)，又确定了待发信号的传输时间(即上图中第二排的两个图中信号的宽度)，从而决定了信号频谱的主瓣宽度以及旁瓣为0的位置。这也意味着，OFDM系统中一旦选定了子载波间隔，时域上的正交性以及频域上的正交性也就顺理成章的联系起来了。如下图：

图53：同前面的图23，两路信号的间隔Δf，保证了时域上的正交性、确定了频域上的旁瓣0点位置

　　其实对本作者而言，从频谱上来看待OFDM的正交性有点颠倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM选用的正交子载波是因，频谱中出现“其余子载波携带信号的旁瓣0点处于当前子载波携带信号主瓣峰值处”的现象是果。以果推因，谬矣。

参考[1]: Wireless Communications, Andrea Goldsmith - 12.2 Multicarrier Modulation with Overlapping Subchannels

参考[2]: Principles of Digital Communication - Gallager - 6.4.1 Double-sideband amplitude modulation

OFDM正交频分复用利用了和之间的正交性。

OFDM的原理框图如下：

图中所示的n个子载波，注意：实际上每个子载波包含了正弦和余弦两个载波，承载了2个比特数据。

正是因为三角函数的正交性：

调制后的数据到了接收端才能被解调出来。

基本思想：

将发送的高速率的数据流经串/并变换，分割为若干路低速率并行数据流，然后每路低速率数据采用一个独立的子载波调制并叠加在一起构成发送信号，使各子载波的信号速率大为降低，从而能够提高抗多径和抗衰落的能力。为了提高频谱利用率，OFDM 方式中各子载波频谱有重叠，但保持相互正交，在接收端通过相关解调技术分离出各子载波，同时消除码间干扰的影响。

频谱结构：

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