树的概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”，是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树的特点：
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
除根结点外，其余结点被分成M(M>0)互不相交的集合T1,T2…Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一颗结构与树类似的子树。
每棵子树的根结点有且仅有一个前驱，可以有0个或多个后继。
因此，树是递归定义的。

树中的专有名词

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。
叶结点（终端结点）：度为0的结点称为叶结点。
非终端结点（分支结点）：度不为0的结点。
父结点（双亲结点）：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。
子结点（孩子结点）：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点。
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度。
结点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子结点为第二层，以此类推。
树的高度（树的深度）：树中结点的最大层次。
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互称为堂兄弟结点。
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
森林：由m(m>0)棵互不相交的树组成的集合称为森林。

树的表示

树结构相对于线性表就比较复杂了，要存储和表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方法。如：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。其中最常用的是孩子兄弟表示法。
孩子兄弟表示法中，所定义的结点类型大致是这样的：

typedef int DataTypestruct Node
{struct Node* firstChild;   //第一个孩子结点struct Node* nextBrother;  //指向下一个兄弟结点DataType data;             //结点中的数据域
};

对于任意树，我们都可以用孩子兄弟法访问到树中的每一个结点：

树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二叉树的概念及其重要性质

二叉树的概念

二叉树是n个结点的有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。

二叉树的特点：
每个结点最多有两个棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

自然界中的二叉树

数据结构中的二叉树

特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至N的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

总结：
满二叉树：若树的深度为K，那么它的每一层的结点数必须都是满的。
完全二叉树：若数的深度为K，那么它的前K-1层的结点数必须都是满的，第K层的结点数可以不是满的但是从左到右必须是连续的。

二叉树的性质（重要！！！）

性质一：若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点。
性质二：若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数为2^h-1个。
性质三：对任何一棵二叉树，如果度为0的叶结点个数为n₀，度为2的分支结点个数为n₂，则有n₀ = n₂+1。
性质四：若规定根结点的层数为1，则具有N个结点的满二叉树的深度h = log₂(N+1)。
性质五：对于具有N个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点：
若 i > 0，则该结点的父结点序号为：( i - 1) / 2；若 i = 0，则无父结点。
若2i + 1 < N，则该结点的左孩子序号为：2i + 1；若2i + 1 >= N，则无左孩子。
若2i + 2 < N，则该结点的右孩子序号为：2i + 2；若2i + 2 >= N，则无右孩子。

练习一下：
1.某二叉树共有399个结点，其中199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）。
A.不存在这样的二叉树
B.200
C.198
D.199

2.在具有2n个结点的完全二叉树中叶子结点个数为（）。
A.n
B.n+1
C.n-1
D.n/2

3.一棵完全二叉树的结点数为531，那么这棵树的高度为（）。
A.11
B.10
C.8
D.12

4.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）。
A.383
B.384
C.385
D.386

解析：
1.（答案：B）根据性质三，叶子结点（度为0）的个数200个，由于199+200 = 399（该二叉树的总结点数），所以该二叉树的叶子结点数为200。

2.（答案：A）根据性质三，度为0的结点数和度为2的结点数之和应为奇数，因为该完全二叉树的结点总数为2n（偶数），所以二叉树中必然存在一个度为1的结点。于是可以推出：度为0的结点和度为2的结点总共有2n-1个。性质三：对任何一棵二叉树，度为0的叶结点个数比度为2的分支结点个数多1，所以该二叉树度为1的结点个数为n-1，度为0的结点数（即叶结点数）为n。
注意理解：任何一棵完全二叉树中度为1的结点要么有1个，要么就没有度为1的结点。因为完全二叉树的最后一层的结点必须是从左到右连续的，而位于最后一层之前的层数的结点的度均为2。

3.（答案：B）假设该完全二叉树的层数为K，则该完全二叉树的前K-1层的结点总数为2^K-1-1，若该完全二叉树是满二叉树，则该满二叉树的结点总数为2^K-1，所以深度为K的完全二叉树的结点总数范围为：2^K-1-1 < N <= 2^K-1。因为2⁹ < 531 <= 2¹⁰，所以该完全二叉树的高度为10。
注意记忆：2¹⁰ = 1024。

4.（答案：B）该题与第2题的道理是一样的，因为该树的结点总数为767（奇数），所以该树中不存在度为1的结点，度为2的结点个数为383，度为0的结点个数为384，即叶子结点个数为384。

二叉树的存储结构

顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实生活中只有堆（一种二叉树）才会使用数组来存储。二叉树的顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树。

链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素之间的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来存储该结点左孩子和右孩子所在的结点的地址。
链式结构又分为二叉链和三叉链，之后我们会用二叉链来实现二叉树的链式存储结构，三叉链运用于更高阶的数据结构，例如红黑树。

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