多元函数链导法则的理解

多元函数的链导法则：

设有复合函数
z = z ( u 1 , ⋯ , u n ) ， u i = u i ( x 1 , ⋯ , x 2 ) ， i = 1 , 2 , ⋯ , n (1) z = z(u_1, \cdots, u_n)，u_i = u_i(x_1, \cdots, x_2)，i = 1, 2, \cdots, n \tag{1} z=z(u1,⋯,un)，ui=ui(x1,⋯,x2)，i=1,2,⋯,n(1)
则 z z z 关于某个自变量 x j x_j xj 的偏导数等于 z z z 对于每个域 x j x_j xj 有关的中间变量 u i u_i ui 的偏导数与这个中间变量 u i u_i ui 对 x i x_i xi 的偏导数之积的综合，即
∂ z ∂ x j = ∑ i = 1 n ∂ z ∂ u i ∂ u i ∂ x j = ∂ z ∂ u 1 ∂ u 1 ∂ x j + ⋯ + ∂ z ∂ u n ∂ u n ∂ x j , j = 1 , ⋯ , l (2) \frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum_{i = 1}^{n} \ \frac{\partial z}{\partial u_i} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \frac{\partial z}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_j} + \cdots + \frac{\partial z}{\partial u_n}\frac{\partial u_n}{\partial x_j},j = 1, \cdots, l \tag{2} ∂xj∂z=i=1∑n ∂ui∂z∂xj∂ui=∂u1∂z∂xj∂u1+⋯+∂un∂z∂xj∂un,j=1,⋯,l(2)
公式（2）称为链导法则

可以发现，当 n = 1 , l = 1 n = 1,l = 1 n=1,l=1 时，公式（2）变为
d z d x = d z d u d u d x (3) \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{du} \frac{du}{dx} \tag{3} dxdz=dudzdxdu(3)
即为一元复合函数求导法则。

在之前的全微分的学习中，我们得到结论：

若函数 z = f ( x , y ) z = f(x, y) z=f(x,y) 可微，则
Δ z = f x ′ ( x , y ) Δ x + f y ′ ( x , y ) Δ y + o ( ρ ) (4) \Delta z = f'_x(x, y) \Delta x \ + \ f'_y(x, y) \Delta y \ + \ o(\rho) \tag{4} Δz=fx′(x,y)Δx + fy′(x,y)Δy + o(ρ)(4)
所以变量 z z z 的变化量可以由两个线性无关的变量 x , y x, y x,y 线性表示

因此，我们可以把 z , u i , x j , i = 1 , ⋯ , n ; j = 1 , ⋯ l z, u_i, x_j, i = 1, \cdots, n; \ j = 1, \cdots l z,ui,xj,i=1,⋯,n; j=1,⋯l 看作一个一个的类

例如，设有函数 z = z ( u 1 , u 2 , u 3 ) , u 1 = u 1 ( x 1 , x 2 ) , u 2 = u 2 ( x 1 , x 2 ) . u 3 = u 3 ( x 1 , x 2 ) z = z(u_1, u_2, u_3), u_1 = u_1(x_1, x_2), u_2 = u_2(x_1, x_2). u_3 = u_3(x_1, x_2) z=z(u1,u2,u3),u1=u1(x1,x2),u2=u2(x1,x2).u3=u3(x1,x2)

// z = z(u1, u2, u3) 代表 z 是一个可以由 u1, u2 , u3 线性表示的变量
public class z {u1 = new u1();u2 = new u2();u3 = new u3();
}//u1 = u1(x1, x2) 代表 u1 是一个可以由 x1, x2 线性表示的变量
public class u1 {x1 = new x1();x2 = new x2();
}//u2 = u2(x1, x2) 代表 u2 是一个可以由 x1, x2 线性表示的变量
public class u1 {x1 = new x1();x2 = new x2();
}//u3 = u3(x1, x2) 代表 u3 是一个可以由 x1, x2 线性表示的变量
public class u1 {x1 = new x1();x2 = new x2();
}//代表 x1 是一个变量，且与 x2 线性无关
public class x1 {int value_x1;
}//代表 x2 是一个变量，且与 x3 线性无关
public class x2 {int value_x2;
}

各个类之间的关系如下图所示

因为从 z z z 到 x 1 x1 x1 的路径有 z → u 1 → x 1 , z → u 2 → x 1 , z → u 3 → x 1 z \to u1 \to x1,\ z \to u2 \to x1, \ z \to u3 \to x1 z→u1→x1, z→u2→x1, z→u3→x1 ，所以当类 x 1 x1 x1 发生改变时，类 z z z 的三个属性 u 1 , u 2 , u 3 u1, u2, u3 u1,u2,u3 均发生相应改变，由公式（4）我们可以得到
Δ z = z u 1 ′ Δ u 1 + z u 2 ′ Δ u 2 + z u 3 ′ Δ u 3 Δ u 1 = ∂ u 1 ∂ x 1 Δ x 1 + ∂ u 1 ∂ x 2 Δ x 2 Δ u 2 = ∂ u 2 ∂ x 1 Δ x 1 + ∂ u 2 ∂ x 2 Δ x 2 Δ u 3 = ∂ u 3 ∂ x 1 Δ x 1 + ∂ u 3 ∂ x 2 Δ x 2 \begin{aligned}\Delta z &= z'_{u_1} \Delta u_1 + z'_{u_2} \Delta u_2 + z'_{u_3} \Delta u_3 \\\Delta u_1 &= \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \Delta x_2 \\\Delta u_2 &= \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} \Delta x_2 \\\Delta u_3 &= \frac{\partial u_3}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} \Delta x_2\end{aligned} ΔzΔu1Δu2Δu3=zu1′Δu1+zu2′Δu2+zu3′Δu3=∂x1∂u1Δx1+∂x2∂u1Δx2=∂x1∂u2Δx1+∂x2∂u2Δx2=∂x1∂u3Δx1+∂x2∂u3Δx2
因此，可以推导得链导公式
∂ z ∂ x j = ∑ i = 1 n ∂ z ∂ u i ∂ u i ∂ x j = ∂ z ∂ u 1 ∂ u 1 ∂ x j + ⋯ + ∂ z ∂ u n ∂ u n ∂ x j , j = 1 , ⋯ , l \frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum_{i = 1}^{n} \ \frac{\partial z}{\partial u_i} \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \frac{\partial z}{\partial u_1}\frac{\partial u_1}{\partial x_j} + \cdots + \frac{\partial z}{\partial u_n}\frac{\partial u_n}{\partial x_j},j = 1, \cdots, l ∂xj∂z=i=1∑n ∂ui∂z∂xj∂ui=∂u1∂z∂xj∂u1+⋯+∂un∂z∂xj∂un,j=1,⋯,l
同样我们可以推导出多元函数全微分形式不变性：
d z = ∂ z ∂ x 1 d x 1 + ∂ z ∂ x 2 d x 2 = ∂ z ∂ u 1 d u 1 + ∂ z ∂ u 2 d u 2 + ∂ z ∂ u 3 d u 3 \begin{aligned}dz &= \frac{\partial z}{\partial x_1} \ dx_1 + \frac{\partial z}{\partial x_2} \ dx_2 \\ &= \frac{\partial z}{\partial u_1} \ du_1 + \frac{\partial z}{\partial u_2} \ du_2 + \frac{\partial z}{\partial u_3} \ du_3\end{aligned} dz=∂x1∂z dx1+∂x2∂z dx2=∂u1∂z du1+∂u2∂z du2+∂u3∂z du3