拉格朗日乘数求极值方法

设给定二元函数 z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y) 和附加条件 φ1(x,y)=0,φ2(x,y)=0,φ3(x,y)=0\varphi_1(x,y)=0,\varphi_2(x,y)=0,\varphi_3(x,y)=0φ1(x,y)=0,φ2(x,y)=0,φ3(x,y)=0 ，为寻找 z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y) 在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数F(x,y,λ1,λ2,λ3)=f(x,y)+λ1φ1(x,y)+λ2φ2(x,y)+λ3φ3(x,y)F(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=f(x,y)+\lambda_1\varphi_1(x,y)+\lambda_2\varphi_2(x,y)+\lambda_3\varphi_3(x,y)F(x,y,λ1,λ2,λ3)=f(x,y)+λ1φ1(x,y)+λ2φ2(x,y)+λ3φ3(x,y) ，其中λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3λ1,λ2,λ3为参数。

令F(x,y,λ1,λ2,λ3)F(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)F(x,y,λ1,λ2,λ3)对x,y,λ1,λ2,λ3x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3x,y,λ1,λ2,λ3的一阶偏导数等于零，即

Fx′=fx′(x,y),λ1φ1x′(x,y),λ2φ2x′(x,y),λ3φ3x′(x,y)=0F'_x=f'_x(x,y),\lambda_1\varphi'_{1x}(x,y),\lambda_2\varphi'_{2x}(x,y),\lambda_3\varphi'_{3x}(x,y)=0Fx′=fx′(x,y),λ1φ1x′(x,y),λ2φ2x′(x,y),λ3φ3x′(x,y)=0

Fy′=fy′(x,y),λ1φ1y′(x,y),λ2φ2y′(x,y),λ3φ3y′(x,y)=0F'_y=f'_y(x,y),\lambda_1\varphi'_{1y}(x,y),\lambda_2\varphi'_{2y}(x,y),\lambda_3\varphi'_{3y}(x,y)=0Fy′=fy′(x,y),λ1φ1y′(x,y),λ2φ2y′(x,y),λ3φ3y′(x,y)=0

Fλ1′=φ1(x,y)=0F'_{\lambda1}=\varphi_1(x,y)=0Fλ1′=φ1(x,y)=0

Fλ2′=φ2(x,y)=0F'_{\lambda2}=\varphi_2(x,y)=0Fλ2′=φ2(x,y)=0

Fλ3′=φ3(x,y)=0F'_{\lambda3}=\varphi_3(x,y)=0Fλ3′=φ3(x,y)=0

由上述方程组解出x,y,λ1,λ2,λ3x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3x,y,λ1,λ2,λ3，如此求得的解(x,y)(x,y)(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y)的附加条件φ1(x,y)=0,φ2(x,y)=0,φ3(x,y)=0\varphi_1(x,y)=0,\varphi_2(x,y)=0,\varphi_3(x,y)=0φ1(x,y)=0,φ2(x,y)=0,φ3(x,y)=0下的可能极值点。把每个点带入原函数z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y)z=ƒ(x,y)，判断对应的值。

拉格朗日乘数求极值方法相关推荐

最优化方法：非线性方程的求极值方法
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/23553263 本文主要讲解数值分析:非线性方程的求根方法,但是等价于最优化方法:非线性方程的求极值方 ...
拉格朗日乘数法及KKT条件-通俗理解
拉格朗日乘子法及KKT条件数学理解 1.拉格朗日乘数法的基本思想在数学最优问题中,拉格朗日乘数法(以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法.这 ...
数学基础知识总结 —— 9. 什么是拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier，有约束条件的多元函数求极值）
文章目录定义理解「拉格朗日乘数法」一些例题定义拉格朗日乘数法(Lagrange multiplier,以数学家约瑟夫·拉格朗日命名),在数学中的最优化问题中,是一种寻找多元函数在其变量受到一 ...
拉格朗日乘数法求可能极值
条件极值下面给出关于条件极值的定义无条件极值:如果对于自变量的限制,只有区域D,而没有其它限制,那么这种类型的极值问题就称为无条件极值问题. 有条件极值:有除了区域D以为的约束条件调制自变量,则称 ...
拉格朗日乘数法（一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法）
拉格朗日乘数法在数学最优问题中,拉格朗日乘数法(以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名)是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法.这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问 ...
CodeForces - 813C The Tag Game（拉格朗日乘数法，限制条件求最值）
[传送门]http://codeforces.com/problemset/problem/813/C [题意]给定整数a,b,c,s,求使得 xa yb zc值最大的实数 x,y,z , 其中x ...
python求最值_用Python实现最速下降法求极值的方法
对于一个多元函数 ,用最速下降法(又称梯度下降法)求其极小值的迭代格式为其中为负梯度方向,即最速下降方向,αkαk为搜索步长. 一般情况下,最优步长αkαk的确定要用到线性搜索技术,比如精确线性搜 ...
python迭代法求极值_用Python实现最速下降法求极值的方法
对于一个多元函数 ,用最速下降法(又称梯度下降法)求其极小值的迭代格式为其中为负梯度方向,即最速下降方向,αkαk为搜索步长. 一般情况下,最优步长αkαk的确定要用到线性搜索技术,比如精确线性搜 ...
拉格朗日乘数法的原理，我用10幅图把它讲清楚了
机器学习是一个目标函数优化问题,给定目标函数f,约束条件会有一般包括以下三类: 仅含等式约束仅含不等式约束等式和不等式约束混合型当然还有一类没有任何约束条件的最优化问题关于最优化问题,大都令人 ...

拉格朗日乘数求极值方法

拉格朗日乘数求极值方法相关推荐

最新文章

热门文章