物理光学11 衍射的基本概念与惠更斯原理

Huygens-Fresnel原理
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射

衍射（Diffraction）是光“绕开”障碍物传播的现象，也叫绕射。几何光学认为光在均匀介质中沿直线传播，所以绕射有悖于几何光学对光路的预测。但绕射的原理其实也很好理解，光既然是一种波，我们可以用声波来类比它，波前上任一点都可以是一个源，产生出新的波形继续向外传播（其实就是惠更斯原理的思想），因此“绕开”障碍物的光相当于是波前上的点“衍生”出来的，这就是把这种现象叫做衍射的理由。另外，这里对于衍射的简单解释前提是光是一种电磁波，所以衍射被归在物理光学中。

Huygens-Fresnel原理

用SSS表示某个点光源，它的电场强度为ESE_SES，它发出的光沿zzz方向传播，距离SSS为zSz_SzS的位置有一个Aperture，距离Aperture为zzz的位置有一个观察者PPP，根据电偶极子radiation的结论，对于Aperture上距离SSS为rSr_SrS的点QQQ，
EQ=ESrSeikrSE_Q=\frac{E_S}{r_S}e^{ikr_S}EQ=rSESeikrS

根据惠更斯原理，点QQQ可以看成一个新的点光源，记∣PQ∣=r|PQ|=r∣PQ∣=r，则继续使用radiation的结论，点QQQ传播到PPP处时，电场为
EQreikr\frac{E_Q}{r}e^{ikr}rEQeikr

假设Aperture的透光部分面积为AAA，则PPP点处的观察者看到的光就是面积分
EP=∬AEQreikrdA=ES∬Aeik(rS+r)rSrdAE_P=\iint_A \frac{E_Q}{r}e^{ikr} dA=E_S\iint_A \frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_Sr}dAEP=∬ArEQeikrdA=ES∬ArSreik(rS+r)dA

这就是根据光的波动说结合关于描述波的传播的惠更斯原理得到的一个直观结果（很难用于实际计算），在Fresnel等人的衍射实验证明了光的传播确实可以存在绕射行为以后，这个结果才逐渐被人接受。

菲涅耳衍射

假设AAA的尺度远大于光的波长，并且观察距离zzz远大于波长，比如照相机的孔相比于光的波长就是超级大的，照相机与摄影对象的物理之间的距离与波长相比也是超级大的，则用Maxwell方程也可以导出PPP处的电场
Ep∝iλ∬Aeik(rS+r)rSr12[cos⁡(−z^,r^)−cos⁡(−z^,r^S)]⏟obliguityfactordAE_p\propto \frac{i}{\lambda}\iint_A \frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_Sr} \underbrace{\frac{1}{2}[\cos(-\hat z,\hat r)-\cos(-\hat z,\hat r_S)]}_{obliguity\ factor}dAEp∝λi∬ArSreik(rS+r)obliguity factor21[cos(−z^,r^)−cos(−z^,r^S)]dA

可以发现惠更斯原理与Maxwell方程得到的结果基本匹配，因为在paraxial approximation下，
cos⁡(−z^,r^)≈1,cos⁡(−z^,r^S)≈=−1\cos(-\hat z,\hat r) \approx 1,\cos(-\hat z,\hat r_S) \approx =-1cos(−z^,r^)≈1,cos(−z^,r^S)≈=−1

Fresnel认为观察距离zzz也是远大于AAA的尺度的，所以
eikrSrS≈eikrSzS,eikrr≈eikrz\frac{e^{ikr_S}}{r_S} \approx \frac{e^{ikr_S}}{z_S},\frac{e^{ikr}}{r} \approx \frac{e^{ikr}}{z}rSeikrS≈zSeikrS,reikr≈zeikr

于是
∬Aeik(rS+r)rSr12[cos⁡(−z^,r^)−cos⁡(−z^,r^S)]⏟obliguityfactordA∝∬Aeik(rS+r)dA\iint_A \frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_Sr} \underbrace{\frac{1}{2}[\cos(-\hat z,\hat r)-\cos(-\hat z,\hat r_S)]}_{obliguity\ factor}dA \\ \propto \iint_A e^{ik(r_S+r)}dA ∬ArSreik(rS+r)obliguity factor21[cos(−z^,r^)−cos(−z^,r^S)]dA∝∬Aeik(rS+r)dA

综上，在近轴近似下，光学系统满足
Ep∝∬Aeik(rS+r)dAE_p \propto \iint_A e^{ik(r_S+r)}dA Ep∝∬Aeik(rS+r)dA

这个结果被称为Fresnel Diffraction。

夫琅禾费衍射

现在不考虑近轴近似，但假设观察尺度远超过电磁波的尺度，以至于在Aperture附近与观察者的位置附近，光的波前都可以近似为平面，这种衍射就是远场(far-field)衍射或者Fraunhofer衍射。

那么多远才够的上far-field呢？我们可以尝试推导可以将球面波近似为平面波的条件

要使球面波近似为平面波，那么原来的球面波到达Aperture上各点的最大相位差必须远小于一个周期，也就是最大光程差要远小于一个波长，那么
rS−zS<<λzS2+D2/4−zS<<λzS>>D22λr_S-z_S << \lambda \\ \sqrt{z_S^2+D^2/4}-z_S << \lambda \\ z_S >> \frac{D^2}{2\lambda} rS−zS<<λzS2+D2/4−zS<<λzS>>2λD2

这就是光源到Aperture的距离应该满足的远场条件；同理，观察者距离Aperture的距离也要满足
z>>D22λz>>\frac{D^2}{2\lambda} z>>2λD2

比如单孔衍射中孔径为D=5mmD=5mmD=5mm，光的波长为λ=500nm\lambda=500nmλ=500nm，那么
D22λ=25m\frac{D^2}{2\lambda}=25m2λD2=25m

也就是说用这两个参数做衍射实验，观察者要到远超25米外的位置上才有可能观察到夫琅禾费衍射。显然这在实验室中可操作性太低了，所以通常选择用凸透镜在Aperture前得到平行光，再在观察者前用凸透镜让平行光聚焦观察衍射现象。