1.Manacher算法

一个串中，找到最长的回文子串。

1.1 暴力解决

得解决长度为奇数的回文和长度为偶数的回文。

1.1.1 奇回文

i位置自己肯定构成回文；长度为1
i+1位置和i-1位置相不相等？相等，构成回文。长度为3
i+2位置和i-2位置相不相等？相等，构成回文。长度为5

1.1.2 偶回文

1.1.1 中的方法不适用

1.1.3 解决方法

向字符串的开头、中间和结尾加东西。

既有奇回文：11311

又有偶回文：11

处理：

然后计算每一位的回文长度：

最终结果是：11/2=5

此方法适用于奇回文和偶回文。

添加的字符无论啥都可以。因为添加的字符不会和原字符串中的字符进行比较，只是和添加的字符比较（实轴永远和实轴比较，虚轴和虚轴比较）。

时间复杂度： $O(N^{2})$

2.概念

2.1 回文直径

回文半径

在Manacher算法中，需要准备一个数组——回文半径数组。存以每个位置为中心的情况下，可括出来的回文半径的长度。

加速：数组后面的位置的值能否利用前面的值，减少计算，实现加速。

2.2 最右回文右边界

所有回文半径中最靠右的位置。

初始：R在-1的位置；

0位置：只能扩到自己；

1位置：可以扩到2位置（#1#）

2位置：不行

3位置：可扩到6位置(#1#2#1#)

表示的是：每个位置下，R最右能到的位置。

3右边扩到了最右的0位置。

2.3 回文右边界的中心

C表示：第一次取得这个最右边界的中心位置。

0位置时，它的C是3.

3的右边界到它右边的1，后面的2的右边界也是2后面的1，但是1的C=3的位置（记录的是第一次到达的）。

3.分情况讨论

3.1 i位置不在回文右边界中—— $O(N)$

比如刚开始的时候，R在-1位置，i在1位置。就是i不在回文右边界。

则暴力扩。

时间复杂度：R的变化范围是从0~N，所有扩的范围都在推后R，而且不会回退，所以总的时间复杂度是 $O(N)$

3.2 i位置在回文右边界的里面

位置1的回文右边界在2位置，当i为2时，它在回文右边界的里面。

3.2.1 i'的回文半径在L里面—— $O(1)$

由C和R得到回文左边界L，假设此时i的位置如图所示：

C肯定在i的左边。关于C做i的对称点i'：

由回文数组中i'的回文半径，可得到一下多个可能性：

可能性1：i'的回文区域在L和C的中间

举例：

C：在F的位置

F的R和L在K位置

i'和i在b的位置

i'为重新的回文是aba，完全在L和C中间。

结论：i位置的回文半径和i'的相等

证明：

小R'到小L'之间肯定是回文结构
且这个范围不会扩的更大。

3.2.2 L和R没包住小L和小R—— $O(1)$

举例：

此时i的回文半径就是i到R。

证明：

过程：

3.2.3 L压线

举例：

这种i的回文半径能不能扩的更大需要尝试。上例中，由于k=k，所以可以扩。

如下图，k≠s，不可以扩

时间复杂度同3.1： $O(N)$

4.应用

给定一个字符串，要求只能在串后面添加字符，使之成为一个回文串。要求添加的字符数最少。

比如，给定：

添加cba会使上串变为回文串，且最短。

它就是在求必须包含最后一个字符（"1"）的情况下，最长回文串是多少。前面不是的部分（“abc”）逆序过来，就是答案。

改写Manacher：

一直求每个位置的回文半径。
当R到达最后一个位置的时候，停。得到回文半径到R的位置C。此时有R和C。
然后将R以C为中心，对称到R’。即得包含最后一个位置的最长回文串。
然后将前面剩余部分逆序，添加到给定字符串的后面。

比如：

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