数塔问题和最长上升子序列问题

1.数字三角形问题

题意：给定一个数字三角形，从最上面出发往下走，每次只能走左下或者右下，求所有路径中最大的和。

分析：形状就跟杨辉三角形一样，那么，设原数组为a[][],设从底边到第i行第j列所走的路径中最大和为dp[i][j]。

那么，很明显有dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]) + a[i][j];

2.最长上升子序列问题

分析：对于一个数列a[]来说，我们用dp[i]来表示以a[i]结尾的序列的最长上升子序列，那么假设现在我们知道了i之前的所

有dp[j]，其中0<=j<i，那么状态转移方程为：dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1) ,0<=j<i,a[j]<a[i]。本算法的时间

复杂度为O(n^2)。

int Work(int a[],int n)
{
int ans = -1;
for(int i=0;i<n;i++)
dp[i] = 1;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(a[i] > a[j])
dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
}
ans = max(ans,dp[i]);
}
return ans;
}

其实还有O(nlog(n))的算法。现在来介绍一下：

根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k，我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设d[k]记录这个值，即d[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。

注意到d[]的两个特点：

(1)　d[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

(2)　d[]的值是有序的，即d[1] < d[2] < d[3] < ... < d[n]。

利用d[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。

设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与d[len]。

若a[t] > d[len]，则将a[t]接在a[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， d[len] = a[t]；

否则，在d[1]..d[len]中，找到最大的j，满足d[j] < a[t]。令k = j + 1，则有d[j] < a[t] <= d[k]，将a[t]接在

d[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新d[k] = a[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
const int INF = ~0U>>1;
int a[N],d[N];
int Binary_Search(int l,int r,int x)
{
while(l < r)
{
int m = (l + r) >> 1;
/** 非严格上升子序列，如果是严格上升子序列，应该把下面的<=改为<即可  */
if(x <= d[m]) r = m;
else l = m + 1;
}
return l;
}
int Work(int a[],int n)
{
d[0] = -1;
int max = -1;
int len = 1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
d[len] = INF;
int j = Binary_Search(0,len,a[i]);
if(j == len) len++;
d[j] = a[i];
}
return len - 1;
}
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
printf("%d\n",Work(a,n));
}
return 0;
}

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1087

题意：给定一个序列a[]，求这个序列的子序列中和最大的值。

分析：这个题比较有意思，跟最长上升子序列相比，不同点是最长上升子序列求的是上升长度最大值，而本题是求上升的和最

大值，那么可以类比。我们知道在最长上升子序列中的状态转移方程是：dp[i] = max(dp[i],f[j] + 1),0<=j<i,a[j]<a[i]。

那么对于和同样的思路得到：dp[i] = max(dp[i],dp[j] + a[i]),0<=j<i,a[j]<a[i]。

int Work(int a[],int n)
{
int ans = -1;
for(int i=0;i<n;i++)
dp[i] = a[i];
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(a[i] > a[j])
dp[i] = max(dp[i],dp[j] + a[i]);
}
ans = max(ans,dp[i]);
}
return ans;
}

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