HD 1003 Max Sum (最大字段和问题)

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003

Problem Description

Given a sequence a[1],a[2],a[3]......a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.

Input

The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).

Output

For each test case, you should output two lines. The first line is "Case #:", # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases.

Sample Input

2 5 6 -1 5 4 -7 7 0 6 -1 1 -6 7 -5

Sample Output

Case 1: 14 1 4Case 2: 7 1 6

思路一：刚开始的第一反应就是枚举，枚举一个开头位置i，一个结尾位置j>=i，再求a[i..j]之间所有数的和，找出最大的就可以啦。当然代价也是很高的O(N^3)。

如下代码：

for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = i; j <= n; j++){int sum = 0;for(int k = i; k <= j; k++)sum += a[k];  max = Max(max, sum);}
}

思路二：我们发现a[i..j]的和不是a[i..j – 1]的和加上a[j]么？所以我们在这里当j增加1的时候把a[j]加到之前的结果上不就可以了么？对！所以我们毫不费力地降低了复杂度，得到了一个新地时间复杂度为O(n^2)的更快的算法。
代码如下：

for(int i = 1; i <= n; i++){int sum = 0;for(int j = i; j <= n; j++){sum += a[j];max = Max(max, sum);}
}

思路三：

动态规划大显身手。我们记录dp[i]表示以a[i]结尾的全部子段中最大的和。我们看一下刚才想到的，我取不取a[i – 1],如果取a[i – 1]则一定是取以a[i – 1]结尾的子段和中最大的一个，所以是dp[i – 1]。那如果不取dp[i – 1]呢？那么我就只取a[i]孤零零一个好了。注意dp[i]的定义要么一定取a[i]。那么我要么取a[i – 1]要么不取a[i -1]。那么那种情况对dp[i]有利？显然取最大的嘛。所以我们有dp[i] = max(dp[i – 1]+ a[i], a[i]) 其实它和dp[i] = max(dp[i – 1] , 0) + a[i]是一样的，意思是说之前能取到的最大和是正的我就要，否则我就不要！初值是什么？初值是dp[1] = a[1]，因为前面没的选了。

这样，我们的时间复杂度是O(n)，空间复杂度也是O(n)——因为要记录dp这个数组。我们注意到dp[i] = max(dp[i － 1]， 0) ＋ a[i]，看它只和dp[i – 1]有关，我们为什么要把它全记录下来呢？为了求所有dp[i]的最大值？不，最大值我们也可以求一个比较一个嘛。

我们定义endmax表示以当前元素结尾的最大子段和，当加入a[i]时，我们有endmax’ = max(endmax, 0) + a[i]，然后再顺便记录一下最大值就好了。

老生常谈的问题来了。我们如何找到一个这样的子段？请看伪代码endmax = max(endmax, 0) + a[i], 对于endmax它对应的子段的结尾显然是a[i]，我们怎么知道这个子段的开头呢？就看它有没有被更新。也就是说如果endmax’= endmax + a[i]则对应子段的开头就是之前的子段的开头。否则，显然endmax开头和结尾都是a[i]了。说到这里是不是已经明了呢？那就看看具体的代码吧。

代码如下：

for(int i=1; i<=n; i++){  if(b>0)b+=a[i];  elseb=a[i];  if(b>sum)sum=b;  //sum=max(b,sum);}

下面就此题贴出完整代码：

#include<iostream>
#define M 5000+5
#define LL long long
#include<cstring>
using namespace std;  LL MaxSum(int n,int a[]){  LL sum=0;  int b=0;  for(int i=1; i<=n; i++){  if(b>0)b+=a[i];  elseb=a[i];  if(b>sum)sum=b;  //sum=max(b,sum);}
return sum;
}
int main(){  int n,a[M],m;LL maxsum;  while(cin>>n){for(m=0; m<n; m++)  cin>>a[m];  int b[M];  for(m=0; m<n; m++)  b[m+1]=a[m];  maxsum=MaxSum(n,b);  cout<<maxsum<<endl;  }return 0;
}

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