万向锁的简单数学解释

我们知道用欧拉角表示空间的旋转，容易产生万向锁(Gimbal Lock)问题，这常常不太容易理解。下面给出一个直观的数学解释。

欧拉角表示的空间旋转，可以用绕三个坐标轴的旋转矩阵的乘积表示

万向锁问题就是出现在这种表示方法中。假如我们令β=90°\beta=90°β=90°，上面的RRR就等于：

我们对这个RRR进行一下化简，并且利用三角函数公式，可以得到

也即当β=90°\beta=90°β=90°时，另外两个自由度α,γ\alpha,\gammaα,γ，变成了一个自由度α+γ\alpha+\gammaα+γ，丢失了一个自由度，也即出现了有些空间旋转不能表示的问题，这个问题就是万向锁。

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