二次函数的最值问题举例(附练习答案)

二次函数的最值问题举例(附练习、答案)二次函数 是初中函数的主要内容，也是高中学 习的重要基础．在初2 (0)yaxbca中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 取任意实数时 的最值情况(当 时，函数在x0a处取得最小值 ，无最大 值；当 时 ，函数在 处取得最大值2bxa24a0a2bx，无最小值．4c本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 在某个范围 内取值时，函数的最 值问题．同时x还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例 1】当 时，求函数 的最大值和最小值．2x23y分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值． x解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．1xmin4y2max5y【例 2】当 时，求函数 的最大值和最小值．1x21yx解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．1min2max5y由上述两例可以看到，二次函数在自变量 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 的范围的图象形状各异．下面给出一些常x见情况：【例 3】当 时，求函数 的取值范围．0 x(2)yx解：作出函数 在 内的图象．(2)y0可以看出：当 时， ，无最大值．1xmin1y所以，当 时，函数的取值范围是 ．0y【例 4】当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．tx25xt分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．t解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．215y1(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 时： 当 时， ；txt2min15yt(2) 当对称轴在所给范围之间．即 时：0当 时， ；1x2min513y(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 时：tt当 时， ．t22in 1()()3t综上所述：2213,05,1tytt在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 (件) 与m每件的销售价 (元)满足一次函数 ．x1623,054mx(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件销售价 之间的函数关系式；yx(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为 元，(30)x那么 件的销售利润为 ，又 ．mym162x2 (30)162)548,54yxxx(2) 由(1)知对称轴为 ，位于 的范围内，另抛物线开口向下4当 时，42max36032y当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元．A 组1．抛物线 ，当 = _____ 时，图象的顶点在 轴上；当 = _____ 2(4)23yxmxmym时，图象的顶点在 轴上；当 = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．l3．求下列二次函数的最值：(1) ； (2) ．245yx(1)2yx4．求二次函数 在 上的最大值和最小值，并求对应的 的值．3x2xx5．对于函数 ，当 时，求 的取值范围．2y0y6．求函数 的最大值和最小值．5x7．已知关于 的函数 ，当 取何值时， 的最小值为 0？22(1)ytxttyB 组1．已知关于 的函数 在 上．x2yxa5x(1) 当 时，求函数的最大值和最小值；1a(2) 当 为实数时，求函数的最大值．2．函数 在 上的最大值为 3，最小值为 2，求 的取值范围．23yx0mxm3．设 ，当 时，函数 的最小值是 ，最大值是 0，求0a121yaxb4的值．,b4．已知函数 在 上的最大值为 4，求 的值．2yxa12xa5．求关于 的二次函数 在 上的最大值( 为常数)．2t1t练 习第五讲 二次函数的最值问题答案A 组1．4 14 或 2， 32． 6lm3．(1) 有最小值 3，无最大值；(2) 有最大值 ，无最小值．944．当 时， ；当 时， ．xmin18y2xmax1y5． y6．当 时， ；当 或 1 时， ．xmin36y2xmax3y7．当 时， ．54tin0B 组1．(1) 当 时， ；当 时， ．xmin1y5xmax37y(2) 当 时， ；当 时， ．0aax270a2102． ．3． ．,b4． 或 ．1a5．当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ．0tmax2yt1x0tmax2yt1x