S p f a Spfa Spfa

s p f a spfa spfa 通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。 s p f a spfa spfa 最坏情况下复杂度和朴素 B e l l m a n − F o r d Bellman-Ford Bellman−Ford 相同，为 O ( V E ) O(VE) O(VE)。

s p f a 求最短路 spfa求最短路 spfa求最短路

s p f a spfa spfa是 B e l l m a n _ f o r d Bellman\_ford Bellman_ford算法的优化。优化的是: d i s t [ b ] = m i n ( d i s t [ b ] , d i s t [ a ] + w ) dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w) dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w)这一步。因为如果 d i s t [ b ] dist[b] dist[b]想要变小，那么 d i s t [ a ] dist[a] dist[a]一定要变小，用宽搜队列来优化，队列里存储的是每次都变小了的点。
1、每一次把起点放入队列
2.1 w h i l e ( Q . s i z e ( ) ) while(Q.size()) while(Q.size())只要队列不空
2.2 取出队头 t = Q . f r o n t ( ) t=Q.front() t=Q.front()，然后弹出队头 Q . p o p ( ) Q.pop() Q.pop()，所有以t相邻的点的距离才有可能变小
2.3 更新 t t t 的所有出边的距离，比如 t → b t→b t→b，如果更新成功，那么就把 b b b 加入队列。如果队列里有 b b b 那么就不用重复加入了。更新过谁，那么就拿它来更新别人

模板题：AcWing 851.spfa 求最短路

邻接表存图

int e[MAXN], ne[MAXN], h[MAXN], idx, w[MAXN];
void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b;ne[idx] = h[a];w[idx] = c;h[a] = idx++;
}

核心代码

void spfa()
{memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));//别忘了初始化dist[1] = 0;//别忘了初始化queue<int> Q;Q.push(1);//压入第一个元素st[1] = true;//那第一个元素状态设置为truewhile(Q.size())//只要队列不空{int t = Q.front();Q.pop();st[t] = false;//这里要设置成false，因为一个点可能会被更新多次for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])//邻接表那一套{int j = e[i];if(dist[j] > dist[t] + w[i])//这里的i相当于idx{dist[j] = dist[t] + w[i];if(!st[j])//如果这个点没有在队列中就把它放进队列{Q.push(j);st[j] = true;//状态设置为true}}}}if(dist[n] == 0x3f3f3f3f)printf("impossible");elseprintf("%d", dist[n]);
}

s p f a 判断是否存在负环 spfa判断是否存在负环 spfa判断是否存在负环

模板题链接：AcWing 852.判断负环

s p f a spfa spfa 判断是否存在负环是在求最短路（因为存在负环就没有最短路，会一直求下去）的过程中，维护一个 c n t cnt cnt 数组， c n t [ j ] cnt[j] cnt[j] 表示从 1 − j 1-j 1−j 这个最短路的路径中的边数，如果边数大于等于 n n n 说明至少有 n + 1 n+1 n+1 个点，说明存在负环。如果有正环则不会加进队列。注意最开始要把所有的点都加入队列，因为可能存在孤立的环

核心代码如下：

int dis[MAXN], flag[MAXN],cnt[MAXN];bool spfa()
{queue<int> Q;for(int i=1;i<=n;++i){flag[i]=true;Q.push(i);}while(Q.size()){int t = Q.front();Q.pop();flag[t]=false;for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(dis[j] > dis[t] + w[i]){dis[j] = dis[t] + w[i];if(!flag[j]){Q.push(j);flag[j]=true;}cnt[j]=cnt[t]+1;if(cnt[j]>=n)return true;}}}return false;
}

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