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当线性假设无法满足时，可以考虑使用其他方法（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。

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多项式回归

扩展可能是假设某些多项式函数，

同样，在标准线性模型方法（使用GLM的条件正态分布）中，参数  可以使用最小二乘法获得，其中  在  。

即使此多项式模型不是真正的多项式模型，也可能仍然是一个很好的近似值 。实际上，根据 Stone-Weierstrass定理，如果  在某个区间上是连续的，则有一个统一的近似值  ，通过多项式函数。

仅作说明，请考虑以下数据集

db = data.frame(x=xr,y=yr)
plot(db)

与标准回归线

reg = lm(y ~ x,data=db)
abline(reg,col="red")

考虑一些多项式回归。如果多项式函数的次数足够大，则可以获得任何一种模型，

reg=lm(y~poly(x,5),data=db)

但是，如果次数太大，那么会获得太多的“波动”，

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R语言ISLR工资数据进行多项式回归和样条回归分析

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reg=lm(y~poly(x,25),data=db)

并且估计值可能不可靠：如果我们更改一个点，则可能会发生（局部）更改

yrm=yr;yrm\[31\]=yr\[31\]-2
lines(xr,predict(regm),col="red")

• 局部回归

实际上，如果我们的兴趣是局部有一个很好的近似值  ，为什么不使用局部回归？

使用加权回归可以很容易地做到这一点，在最小二乘公式中，我们考虑

• 在这里，我考虑了线性模型，但是可以考虑任何多项式模型。在这种情况下，优化问题是

可以解决，因为

例如，如果我们想在某个时候进行预测 ， 考虑 。使用此模型，我们可以删除太远的观测值，

更一般的想法是考虑一些核函数  给出权重函数，以及给出邻域长度的一些带宽（通常表示为h），

这实际上就是所谓的 Nadaraya-Watson 函数估计器 。
在前面的案例中，我们考虑了统一核 ，

但是使用这种权重函数具有很强的不连续性不是最好的选择，尝试高斯核，

这可以使用

w=dnorm((xr-x0))
reg=lm(y~1,data=db,weights=w)

在我们的数据集上，我们可以绘制

w=dnorm((xr-x0))
plot(db,cex=abs(w)*4)
lines(ul,vl0,col="red")
axis(3)
axis(2)
reg=lm(y~1,data=db,weights=w)
u=seq(0,10,by=.02)
v=predict(reg,newdata=data.frame(x=u))
lines(u,v,col="red",lwd=2)

在这里，我们需要在点2进行局部回归。下面的水平线是回归（点的大小与宽度成比例）。红色曲线是局部回归的演变

让我们使用动画来可视化曲线。

但是由于某些原因，我无法在Linux上轻松安装该软件包。我们可以使用循环来生成一些图形

name=paste("local-reg-",100+i,".png",sep="")
png(name,600,400)for(i in 1:length(vx0)) graph (i)

然后，我使用

当然，可以考虑局部线性模型，

return(predict(reg,newdata=data.frame(x=x0)))}

甚至是二次（局部）回归，

lm(y~poly(x,degree=2), weights=w)

当然，我们可以更改带宽

请注意，实际上，我们必须选择权重函数（所谓的核）。但是，有（简单）方法来选择“最佳”带宽h。交叉验证的想法是考虑

 是使用局部回归获得的预测。

我们可以尝试一些真实的数据。

library(XML)data = readHTMLTable(html)

整理数据集，

plot(data$no,data$mu,ylim=c(6,10))
segments(data$no,data$mu-1.96*data$se,

我们计算标准误差，反映不确定性。

for(s in 1:8){reg=lm(mu~no,data=db,
lines((s predict(reg)\[1:12\]

所有季节都应该被认为是完全独立的，这不是一个很好的假设。

smooth(db$no,db$mu,kernel = "normal",band=5)

我们可以尝试查看带宽较大的曲线。

db$mu\[95\]=7plot(data$no,data$mulines(NW,col="red")

样条平滑

接下来，讨论回归中的平滑方法。假设 ，  是一些未知函数，但假定足够平滑。例如，假设  是连续的，  存在，并且是连续的，   存在并且也是连续的等等。如果  足够平滑，  可以使用泰勒展开式。 因此，对于 

也可以写成

第一部分只是一个多项式。

使用 黎曼积分，观察到

因此，

我们有线性回归模型。一个自然的想法是考虑回归 ，对于

给一些节点 。

plot(db)

如果我们考虑一个节点，并扩展阶数1，

B=bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10),degre=1)lines(xr\[xr<=3\],predict(reg)\[xr<=3\],col="red")
lines(xr\[xr>=3\],predict(reg)\[xr>=3\],col="blue")

可以将用该样条获得的预测与子集（虚线）上的回归进行比较。

lines(xr\[xr<=3\],predict(reg)\[xr<=3lm(yr~xr,subset=xr>=3)

这是不同的，因为这里我们有三个参数（关于两个子集的回归）。当要求连续模型时，失去了一个自由度。观察到可以等效地写

lm(yr~bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10)

回归中出现的函数如下

现在，如果我们对这两个分量进行回归，我们得到

matplot(xr,Babline(v=c(0,2,5,10),lty=2)

如果加一个节点，我们得到

预测是

lines(xr,predict(reg),col="red")

我们可以选择更多的节点

lines(xr,predict(reg),col="red")

我们可以得到一个置信区间

polygon(c(xr,rev(xr)),c(P\[,2\],rev(P\[,3\]))points(db)

如果我们保持先前选择的两个节点，但考虑泰勒的2阶的展开，我们得到

matplot(xr,B,type="l")
abline(v=c(0,2,5,10),lty=2)

如果我们考虑常数和基于样条的第一部分，我们得到

B=cbind(1,B)
lines(xr,B\[,1:k\]%*%coefficients(reg)\[1:k\],col=k-1,lty=k-1)

如果我们将常数项，第一项和第二项相加，则我们得到的部分在第一个节点之前位于左侧，

k=3
lines(xr,B\[,1:k\]%*%coefficients(reg)\[1:k\]

通过基于样条的矩阵中的三个项，我们可以得到两个节点之间的部分，

lines(xr,B\[,1:k\]%*%coefficients(reg)\[1:k\]

最后，当我们对它们求和时，这次是最后一个节点之后的右侧部分，

k=5

这是我们使用带有两个（固定）节点的二次样条回归得到的结果。可以像以前一样获得置信区间

polygon(c(xr,rev(xr)),c(P\[,2\],rev(P\[,3\]))points(db)
lines(xr,P\[,1\],col="red")

使用函数 ，可以确保点的连续性 。

再一次，使用线性样条函数，可以增加连续性约束，

lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97),lines(c(1:94,96),predict(reg),col="red")

但是我们也可以考虑二次样条，

abline(v=12*(0:8)+.5,lty=2)lm(mu~bs(no,knots=c(12*(1:7)+.5),Boundary.knots=c(0,97),

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本文选自《R语言中的多项式回归、局部回归、核平滑和平滑样条回归模型》。

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