三个点在同一个半圆的概率_圆内任取三点/四点在同一半圆内的概率是多少?...
大家的做法好像都有点麻烦……我用高中(有点竞赛?)的方法解答。
设四个点为 C₁ , C₂ , C₃ , C₄ 分别位于直径 A₁B₁ , A₂B₂ , A₃B₃ , A₄B₄ 上。不妨设四条直径各不相同,且四个点都不在圆心 O 处。
易得 Cₘ 位于半径 OAₘ 与半径 OBₘ 的概率都是 1/2 ,而 C₁ , C₂ , C₃ , C₄ 共半圆等价于所在的四条半径相邻!
于是我们转化为了古典概型:在四条直径中各选一条半径,则四条半径相邻的概率是?
用古典概型公式:
P = Ω / Ω₀ = (2×4) / (2^4) = 1/2
注意到,这个概率的大小与四条直径的位置没有关系!所以当四个点等概率密度分布在圆内时,落在同一个半圆内的概率是 1/2 。
那么我们可以轻松地推广到 n 个点的情况,只要转化为 2n 条半径的古典概型问题:
Pₙ = Ω / Ω₀ = 2n / (2^n) = n/2^(n-1)
灵感来源则是这道题:圆上任选三点组成三角形,这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少?www.zhihu.com
圆周上三个点构成钝角三角形,其实就是在同一个半圆上!
@李忠相 在我回答的前一天发了一篇文章李忠相:圆中四鸭属于一个半圆的概率zhuanlan.zhihu.com
我们似乎发现了这个问题的原型:游过一群鸭
他的学生 Lsh 给出了相似的做法:我没看过哦
这个“共轭变换”是等距变换,所以是保测度的,点落在变换前后位置的可能性是相同的!因此这个做法是非常棒的。
结论:抓准问题的特殊性,经常会有意想不到而正中要害的做法。本题便是利用了圆的对称性,事实上换为球也可以用到这样的思想(会难一些!)。
做学问应平心静气讨论,不要打架 。
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