半导体器件物理【8】平衡半导体 —

前言

这篇很多都和前面的一样，也算是复习了一遍。几种分布函数的确没弄明白

前言
平衡状态
本征半导体
载流子
- 电中性条件
- 热平衡状态
元素周期表
禁带宽度
统计力学
- - 麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数
  - 玻色-爱因斯坦分布函数
  - 费米-狄拉克分布函数
- 状态密度
- 费米分布
- - 费米能级
- 玻尔兹曼分布
电子空穴浓度
本征半导体和本征载流子
- 本征半导体的电中性条件
- 本征载流子浓度
- 本征半导体的费米能级
N型半导体的费米能级
- 低温电离区
- 中间弱电离区
- 强电离区300K~500K
- - 强弱电离区别
- 过渡区500K~800K
- 高温本征激发区
P型半导体的费米能级
- 低温弱电离区
- 中间电离区
- 强电离区
- 过渡区
- 高温本征激发区

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平衡状态

没有外界电压、电场、磁场、温度梯度作用在半导体上的状态叫平衡状态。

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本征半导体

没有杂质原子和缺陷的纯净晶体。本征半导体太不稳定

n0导带中平衡电子浓度n_0 导带中平衡电子浓度n0导带中平衡电子浓度

p0价带中平衡空穴浓度p_0 价带中平衡空穴浓度p0价带中平衡空穴浓度

本征半导体中 n0=p0=ni,ni是本征载流子浓度n_0 = p_0 = n_i, n_i是本征载流子浓度n0=p0=ni,ni是本征载流子浓度

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载流子

能够参与导电，荷载电流的粒子，也就是电子和空穴。

载流子的复合：在导电电子和空穴产生的同时，还存在与之相反的过程，即电子也可以从高能量量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格放出一定能量。

载流子有两种产生方式

本征激发：电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴
杂质电离：电子从施主donor能级跃迁到导带产生导带电子。电子从价带激发到受主acceptor能级产生价带空穴。

NdN_dNd 有效施主浓度
NaN_aNa 有效受主浓度
NcN_cNc 导带有效状态密度

Nc=2(2πmn∗kTh2)3/2∝T3/2N_c=2(\frac{2\pi m_n^*kT}{h^2})^{3/2} \propto T^{3/2}Nc=2(h22πmn∗kT)3/2∝T3/2

NvN_vNv 价带有效状态密度

Nv=2(2πmp∗kTh2)3/2∝T3/2N_v=2(\frac{2\pi m_p^*kT}{h^2})^{3/2} \propto T^{3/2}Nv=2(h22πmp∗kT)3/2∝T3/2

Nd>NaN_d>N_aNd>Na 形成n型补偿半导体。电子多，一般是V族元素
Nd<NaN_d<N_aNd<Na 形成p型补偿半导体。空穴多，一般是III族元素
Nd=NaN_d=N_aNd=Na 形成完全补偿半导体

未电离施主浓度ndn_dnd

电离后的施主浓度Nd+=Nd−ndN_d^+=N_d - n_dNd+=Nd−nd

未电离受主浓度pap_apa

电离后的受主浓度Na−=Na−paN_a^-=N_a - p_aNa−=Na−pa

电中性条件

正负电荷密度相等。左边是导带电子浓度加电离后的受主浓度，右边是价带空穴浓度加电离后的施主浓度

n0+Na−=p0+Nd+n_0 + N_a^- = p_0 + N_d^+n0+Na−=p0+Nd+

n0+Na−pa=p0+Nd−ndn_0 + N_a - p_a = p_0 + N_d - n_d n0+Na−pa=p0+Nd−nd

热平衡状态

nd=pa=0n_d=p_a=0nd=pa=0
热平衡电子浓度公式
n0=Nd−Na2+(Nd−Na2)2+ni2n_0=\frac{N_d-N_a}{2} + \sqrt{ ( \frac{N_d - N_a}{2} )^2 + n_i^2 }n0=2Nd−Na+(2Nd−Na)2+ni2

Si的ni=1×1010cm−3Si \; 的 \; n_i=1\times10^{10} cm^{-3}Si的ni=1×1010cm−3

热平衡状态：在一定温度下，载流子的产生和复合这个过程形成动态平衡，单位时间内产生的电子-空穴对，等于复合掉的电子-空穴对。

热平衡下的导电电子、空穴称为热平衡载流子。她们的浓度称为热平衡载流子浓度。

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元素周期表

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禁带宽度

电子从价带跃迁到导带

hv=Eghv=E_ghv=Eg 刚好从价带边缘跃迁到导带边缘
hv>Eghv>E_ghv>Eg 可以不用从边缘跃迁

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统计力学

状态密度：允许的量子态按能量分布

几率函数：电子在允许的量子态中的分布

半导体中的载流子浓度随温度剧烈变化，所以半导体导电性与温度密切相关。

粒子在有效能态中的分布，有三种分布法则
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麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数

认为分布中的粒子可以被一一区分，对每个能态所能容纳的粒子数没有限制

玻色-爱因斯坦分布函数

认为分布中的粒子不可区分，对每个能态所能容纳的粒子数没有限制

费米-狄拉克分布函数

认为分布中的粒子不可区分，每个量子态只允许一个粒子存在

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状态密度

导带底

gc(E)=V2π2⋅(2mn∗)3/2ℏ3(E−Ec)1/2g_c(E)=\frac{V}{2\pi ^2} · \frac{ (2m_n^*)^{3/2} }{\hbar ^3} (E - E_c)^{1/2}gc(E)=2π2V⋅ℏ3(2mn∗)3/2(E−Ec)1/2

价带顶

gv(E)=V2π2⋅(2mp∗)3/2ℏ3(Ev−E)1/2g_v(E)=\frac{V}{2\pi ^2} · \frac{ (2m_p^*)^{3/2} }{\hbar ^3} (E_v - E)^{1/2}gv(E)=2π2V⋅ℏ3(2mp∗)3/2(Ev−E)1/2

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费米分布

费米能级

能量为E的量子态被一个电子占据的概率

f(E)=1/{1+exp(E−Efk0T)}f(E)=1/\left\{ 1 + exp( \frac{E - E_f}{k_0T} ) \right\}f(E)=1/{1+exp(k0TE−Ef)}
能量为E的量子态被一个空穴占据的概率
1−f(E)1-f(E)1−f(E)

当T=0时,
{E<Ef，f(E)=1E>Ef，f(E)=0\begin{cases}E<E_f，f(E)=1\\ E>E_f，f(E)=0 \end{cases}{E<Ef，f(E)=1E>Ef，f(E)=0

当T>0时，
{E<Ef，f(E)>0.5E=Ef，f(E)=0.5E>Ef，f(E)<0.5\begin{cases}E<E_f，f(E)>0.5 \\ E=E_f，f(E)=0.5\\ E>E_f，f(E) < 0.5\end{cases}⎩⎨⎧E<Ef，f(E)>0.5E=Ef，f(E)=0.5E>Ef，f(E)<0.5

费米能级是量子态基本被电子占据或基本为空的标志。

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玻尔兹曼分布

高能态 E−Ef>>k0TE - Ef >> k_0 TE−Ef>>k0T 下（费米能级EfE_fEf位于禁带内，与导带底或价带顶的距离远大于k0Tk_0Tk0T），电子的玻尔兹曼分布为

fB(E)=Aexp(−Ek0T)f_B(E)=Aexp( - \frac{ E }{k_0 T})fB(E)=Aexp(−k0TE)
A=exp(Efk0T)A=exp(\frac{E_f}{k_0T})A=exp(k0TEf)

空穴的玻尔兹曼分布为
1−fB(E)=Bexp(Ek0T)1 - f_B(E)=Bexp(\frac{E}{k_0T})1−fB(E)=Bexp(k0TE)
B=exp(−Efk0T)B=exp(-\frac{E_f}{k_0T})B=exp(−k0TEf)

大多数电子都在导带底，导带中的电子分布可以用玻尔兹曼分布描述。

大多数空穴都在价带顶，价带中的空穴分布都可以用玻尔兹曼分布描述。

简并系统：服从费米统计律的电子系统

非简并系统：服从玻尔兹曼统计律的电子系统

两个统计律差别：费米统计律受泡利不相容原理的限制！！！
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电子空穴浓度

（导带）电子浓度（谈电子浓度就是谈导带电子浓度，同理，谈空穴浓度就是谈价带空穴浓度）为

n0=Ncexp(−Ec−Efk0T)=ni⋅exp(−Ei−Efk0T)n_0 = N_c exp(- \frac{ E_c - E_f }{k_0T} ) = n_i · exp(- \frac{E_{i} - E_f }{k_0T})n0=Ncexp(−k0TEc−Ef)=ni⋅exp(−k0TEi−Ef)

空穴浓度为

p0=Nvexp(−Ef−Evk0T)=ni⋅exp(−Ef−Eik0T)p_0 = N_v exp(- \frac{ E_f - E_v }{k_0T} ) = n_i · exp(- \frac{E_f - E_{i} }{k_0T})p0=Nvexp(−k0TEf−Ev)=ni⋅exp(−k0TEf−Ei)

有效状态密度N可以依靠300K时的有效状态密度等比例求

NT=N300K(T300)3/2N_T = N_{300K} (\frac{T}{300})^{3/2}NT=N300K(300T)3/2

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本征半导体和本征载流子

本征半导体的电中性条件

n0=p0n_0=p_0n0=p0

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本征载流子浓度

ni2=n0⋅p0=NcNvexp(−Egk0T)n_i^2 = n_0 · p_0=N_c N_v exp( - \frac{ E_g }{k_0 T} )ni2=n0⋅p0=NcNvexp(−k0TEg)
ni=Ncexp(−Ec−Eik0T)n_i=N_cexp(- \frac{E_c - E_{i}}{k_0T})ni=Ncexp(−k0TEc−Ei)

其中Eg=Ec−EvE_g=E_c - E_vEg=Ec−Ev 为禁带宽度。

ni=4.82×1015⋅(mn∗mp∗m02)3/4⋅T3/2⋅exp(−Eg2k0T)n_i = 4.82\times 10 ^{15} · (\frac{ m_n^* m_p^* }{ m_0^2})^{3/4} · T^{3/2} · exp( - \frac{E_g}{2k_0 T})ni=4.82×1015⋅(m02mn∗mp∗)3/4⋅T3/2⋅exp(−2k0TEg)

禁带宽度EgE_gEg增加，本征载流子浓度降低。
温度升高，本征载流子浓度指数增加。
k0T=T∗0.0259/300k_0T=T*0.0259 / 300k0T=T∗0.0259/300

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本征半导体的费米能级

Ei=Ec+Ev2+3k0T4lnmp∗mn∗E_i=\frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3k_0T}{4}ln\frac{m_p^*}{m_n^*} Ei=2Ec+Ev+43k0Tlnmn∗mp∗

当mp∗>mn∗m_p^*>m_n^*mp∗>mn∗时，费米能级在中线上

当mp∗=mn∗m_p^*=m_n^*mp∗=mn∗时，费米能级在中线

当mp∗<mn∗m_p^*<m_n^*mp∗<mn∗时，费米能级在中线下

本征半导体费米能级处于禁带中央附近
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N型半导体的费米能级

低温电离区

n0=nd∗<<Nd,p0≈0n_0=n_d^* << N_d\;,\;\;p_0\approx 0n0=nd∗<<Nd,p0≈0 情况下，只关心导带和施主
Ef=Ec+Ed2+k0T2lnNd2NcE_f = \frac{E_c + E_d}{2} + \frac{k_0T}{2}ln \frac{N_d}{2N_c}Ef=2Ec+Ed+2k0Tln2NcNd
n0=NdNc2exp(−ΔEd2k0T)n_0=\sqrt{ \frac{N_dN_c}{2} }exp( - \frac{\Delta E_d}{2k_0T})n0=2NdNcexp(−2k0TΔEd)

随温度增加，EfE_fEf在导带和施主之间，先增后减

中间弱电离区

当Nd<2NcN_d < 2N_cNd<2Nc时，EfE_fEf在Ed、EcEd、E_cEd、Ec中线以下

当Nd>2NcN_d > 2N_cNd>2Nc时，EfE_fEf在Ed、EcEd、E_cEd、Ec中线以上，甚至导带以上（简并化）

随着温度升高，杂质逐渐电离，EfE_fEf下降

强电离区300K~500K

Nd<Nc,n0=NdN_d < N_c\;,\;\;n_0=N_dNd<Nc,n0=Nd 杂质基本完全电离

Ef=Ec+k0TlnNdNc<EcE_f = E_c + k_0 T ln\frac{N_d}{N_c} < E_cEf=Ec+k0TlnNcNd<Ec

温度升高，EfE_fEf下降，

有效施主浓度升高，EfE_fEf升高

一般认为室温下，杂质全部电离！！！

强弱电离区别

弱电离 nd∗/Nd<<1n_d^* / N_d <<1nd∗/Nd<<1

强电离 nd∗/Nd≥90%n_d^* / N_d \ge 90 \%nd∗/Nd≥90%

其中nd∗n^*_dnd∗是电离施主浓度，NdN_dNd是有效施主浓度
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决定强弱电离的因素：温度、杂质浓度、杂质电离能

过渡区500K~800K

n0=p0+Ndn_0=p_0 +N_dn0=p0+Nd , 杂质全部电离nd∗=Ndn_d^* = N_dnd∗=Nd，并且本征激发无法忽略。

Ef=Ei+k0Tsh−1Nd2niE_f=E_{i} + k_0T sh^{-1}\frac{N_d}{2n_i} Ef=Ei+k0Tsh−12niNd

高温本征激发区

n0=p0=nin_0 = p_0=n_in0=p0=ni 情况下，类似与本征半导体

Ef=Ec+Ev2+k0T2lnNvNcE_f=\frac{E_c + E_v}{2} + \frac{k_0T}{2}ln \frac{N_v}{N_c}Ef=2Ec+Ev+2k0TlnNcNv

P型半导体的高温本征区的费米能级也是这个公式！！！

综上，N型半导体的费米能级为

四个公式分别对应低温弱电离、强电离、过渡、本征激发。

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P型半导体的费米能级

低温弱电离区

Ef=Ea+Ev2−k0T2lnNa4NvE_f = \frac{E_a + E_v}{2} - \frac{k_0T}{2} ln \frac{N_a}{4N_v}Ef=2Ea+Ev−2k0Tln4NvNa

p0=NaNv4exp(−ΔEa2k0T)p_0=\sqrt{\frac{N_aN_v}{4}}exp( - \frac{\Delta E_a}{2k_0T})p0=4NaNvexp(−2k0TΔEa)

P型和N型在低温弱电离区的费米能级公式、价带空穴浓度公式都不一样，N型是除二，P型是除4

中间电离区

强电离区

Ef=Ev−k0TlnNaNvE_f = E_v - k_0T ln \frac{N_a}{N_v}Ef=Ev−k0TlnNvNa

p0=Nap_0=N_ap0=Na

过渡区

Ef=Ei−k0Tsh−1Na2niE_f = E_i - k_0Tsh^{-1}\frac{N_a}{2n_i}Ef=Ei−k0Tsh−12niNa

高温本征激发区

Ef=Ec+Ev2+k0T2lnNvNcE_f=\frac{E_c + E_v}{2} + \frac{k_0T}{2}ln \frac{N_v}{N_c} Ef=2Ec+Ev+2k0TlnNcNv

N型半导体的高温本征区的费米能级也是这个公式！！！

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