经典趣味数学问题之过河问题

一、问题描述

在漆黑的夜里，甲乙丙丁共四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，如何设计一个方案，让这四人尽快过桥。

二、问题答案

这个问题本身并不太难，即使用简单的枚举法逐一尝试也能找到正确答案。

两人过桥后，需要把手电筒送来，因此最容易想到的是让那个最快的人担任来回送电筒的人。因此，这第一种办法是：先让甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要17分钟就可以让四个人都过去。

而正确答案是第二种方法：先让甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（2分钟），甲乙再过去（2分钟），总共需要15分钟就可以让四个人都过去。

这里的一个关键点，是让两个最慢的人同时过桥。

三、简单扩展

如果把四人所需要的时间，改变一下分别，是1、4、5、8分钟。

第一种方法：先甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要19分钟就可以让四个人都过去。

第二种方法：先让甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（4分钟），甲乙再过去（4分钟），总共需要21分钟就可以让四个人都过去。

这一次，两个最慢的人一起过去反而更慢了。

我们比较这两次方案的差异：次快的人要不要也传递一次手电筒。

假定四个人过河时间是T1,T2,T3,T4且T1＜T2＜T3＜T4，如何选择过桥方案。

第一种过河方法的总时间为：T2＋T1＋T3＋T1＋T4

第二种过河方法的总时间为：T2＋T1＋T4＋T2＋T2

二者之差为：（T1＋T3）-2T2。

结论是：如果（T1＋T3）大于2T2，第二种方法优；如果（T1＋T3）小于2T2，第一种方法优；如果（T1＋T3）等于2T2，两种方法无差异。

四、问题推广

　　现在我们把这个问题推广：如果有N（N大于等于4）个旅行者，假设他们有各自所需的过桥时间有快有慢，各不相同。在只有一只手电筒的情况下，要过上述的一条桥，怎样才能找到最快的过桥方案？

现在我们假定，N个人单独过桥的时间分别是T1,T2,T3,……,Tn，且满足T1＜T2＜T3＜…… ＜Tn。

经过分析，要满足最快过桥，合理的安排包括以下几点：

（1）让最快的送手电筒的次数尽可能多些。

（2）某些方案中，次快的也送电筒也可能会电筒。

（3）让慢的过桥次数尽可能少些；

（4）最快的两个先过桥，以保证此二人是能来回送电筒的人；

我们借助上述结论，来逐步来分析多人情形。

当N=5人时，第一次先T1、T2两人过桥，T1把电筒送回，没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5的4人情形。这个时候，需要比较T1＋T4与2T3的大小吗？

第一种方案，还是选择T1来回送电筒，则过桥总时间：为T2＋T3＋T1＋T4＋T1＋T5

第二种方案，让慢的一起走，但因为送回电筒的不是T3，而是更快一点的T2,则总过桥时间为

T2＋T5＋T2＋T3＋T1＋T2。

两种方案两者之差为T1＋T4－2T2，这里与T3没有关系。

当N=6人时，第一次先T1、T2两人过桥，T1把电筒送回，没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5、T6 的5人情形。按照刚才的分析，要比较T1＋T5－2T2的大小。

如此类推下去，多人情形的过桥问题，两种方案的差异，只与最快的人、次快的人和次慢的人的单独过桥时间有关，而与其他人的快慢无关。

至此，多人过河的最佳方案及其总时间，也就容易解决了。

练习题1：在漆黑的夜里，甲乙丙丁戊己共六位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，六个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，六人所需要的时间分别是1、5，6，7，8、9分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，如何设计一个方案，让这六人尽快过桥。

五、模仿练习

练习题2：在漆黑的夜里，甲乙丙丁戊己庚共七位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，七个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，七四人所需要的时间分别是5、8，9，10、11、12、13分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，如何设计一个方案，让这七六人尽快过桥。

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