点与有向线段的位置关系

点与有向线段的关系有5种：

1. 点在有向线段左侧

(y-y₁)(x₂-x₁) - (x-x₁)(y₂-y₁)>0

2. 点在有向线段右侧

(y-y₁)(x₂-x₁) - (x-x₁)(y₂-y₁)<0

3. 点在有向线段正前方

(x₂-x₁)*(y-y₂)=(y₂-y₁)*(x-x₂)且(x₂-x₁)*(x-x₂)>0

4. 点在有向线段正后方

(x₁-x₂)*(y-y₁)=(y₁-y₂)*(x-x₁)且(x₁-x₂)*(x-x₁)>0

5. 点在有向线段上

点在有向线段左侧

设点A(x,y)在有向线段 P₁P₂左侧，点B是通过p1且与x轴平行的直线上的一点，则必有∠BP₁A-∠P₂P₁A>0°且<180°。

即0<sin(∠BP₁A-∠P₂P₁A)<1

设∠BP₁A=α，∠P₂P₁A=β根据差角公式有：

sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

根据三角函数定义可知：

sinα = (y-y₁)/r_a

cosα = _{(x-x₁)/r_a}

sinβ = (y₂-y₁)/r_b

cosβ = _{(x₂-x₁)/r_b}

故有：

0<(y-y₁)(x₂-x₁)/(r_ar_b) - (x-x₁) (y₂-y₁)/(r_ar_b)<1

又因为(y-y₁)(x₂-x₁)/(r_ar_b) - (x-x₁)(y₂-y₁)/( r_ar_b)<1必然成立，所以只需要满足：

0<(y-y₁)(x₂-x₁)/( r_ar_b) - (x-x₁) (y₂-y₁)/(r_ar_b)

因为r_ar_b恒大于0，所以消去分母可得：

(y-y₁)(x₂-x₁) - (x-x₁) (y₂-y₁)>0

即，满足(y-y₁)(x₂-x₁) - (x-x₁)(y₂-y₁)>0时，点A在有向线段 P₁P₂左侧。

点在有向线段右侧

类似地，满足(y-y₁)(x₂-x₁) - (x-x₁)(y₂-y₁)<0时，点A在有向线段 P₁P₂右侧。

点在有向线段正前方

点A在有向线段P₁P₂正前方时，有向线段P₁P₂和P₂A方向相同。

即(x₂-x₁)/(x-x₂)=(y₂-y₁)/(y-y₂)，且(x₂-x₁)*(x-x₂)>0

又因为点A在有向线段前方，即A和P₂不重合，所以(x-x₂)、(y-y₂)不可能为0

所以两边同时乘以(x-x₂)(y-y₂)得：

(x₂-x₁)*(y-y₂)=(y₂-y₁)*(x-x₂)

即，当(x₂-x₁)*(y-y₂)=(y₂-y₁)*(x-x₂)且(x₂-x₁)*(x-x₂)>0时，点A在有向线段P₁P₂前方。

点在有向线段正后方

点A在有向线段P₁P₂正后方时，有向线段P₂P₁和P₁A方向相同。

即(x₁-x₂)/(x-x₁)=(y₁-y₂)/(y-y₁)，且(x₁-x₂)*(x-x₁)>0

又因为点A在有向线段后方，即A和P₁不重合，所以(x-x₁)、(y-y₁)不可能为0

所以两边同时乘以(x-x₁)(y-y₁)得：

(x₁-x₂)*(y-y₁)=(y₁-y₂)*(x-x₁)

即，当(x₁-x₂)*(y-y₁)=(y₁-y₂)*(x-x₁)且(x₁-x₂)*(x-x₁)>0时，点A在有向线段P₁P₂后方。

点在有向线段上

1°

点A在有向线段P₁P₂上且点A与点P₁、P₂不重合时，有向线段P₂A和P₁A方向相反。

2°

点A在有向线段P₁P₂上且点A与点P₁或P₂重合时，有向线段点A=P₂或点A=P₁。

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