数学与泛型编程（6）编程的基本概念
数学与泛型编程 数学与泛型编程（1）埃及乘法、加法链_nameofcsdn的博客-CSDN博客_数学与泛型编程
目录
一，范畴篇
二，类型type、概念concept
三，类型函数及类型属性函数
1，类型函数
2，类型属性函数
四，正则、半正则
1，正则Regular
（1）操作集
（2）语义集
（3）复杂度
2，半正则Semiregular
五，迭代器
1，操作集
2，迭代器必须是正则的
3，迭代器的分类
六，区间
一，范畴篇
亚里士多德有一部重要作品叫做《工具论》，第一篇文章叫做《范畴篇》。
亚氏在这篇文章中介绍了抽象这一概念。他论述了个体（individual）、物种（species）与属（genus）之间的区别。物种能够概括某一类事物的“本质”特征，而属则包含很多物种。
亚里士多德所说的属给泛型编程提供了灵感，这种编程方式把注意力放在属的层面上，而不是种的层面上。
二，类型type、概念concept
类型对应种、概念对应属。
concept可以视为对类型所提出的一系列要求，或是一个用来判断类型是否满足这些要求的谓词。
对类型所提出的要求，涉及下列三个方面：（简称操作集、语义集、复杂度）
- 类型必须提供哪些操作；
- 这些操作的语义；
- 这些操作的时间/空间复杂度。
为什么要把时间/空间复杂度也算作一项要求呢？
比如栈这种类型，在O（1）时间内进行push和pop就是必须满足的要求，无论是用数组还是链表还是向量来实现栈，都要满足这个要求，不满足的话就不能算栈。
三，类型函数及类型属性函数
1，类型函数
类型函数是一种能够根据给定的类型来返回其附属类型的函数。
比如coefficient_type（Polynomial）
2，类型属性函数
类型属性函数是一种能够根据给定的类型来返回一个值，用以表示该类型的某项属性的函数。
比如C++的sizeof关键字、python的type函数
四，正则、半正则
有两种常见的类型属性，一个是正则Regular，一个是半正则Semiregular
1，正则Regular
（1）操作集
- 拷贝构造
- 赋值
- 判断是否相等（等价测试）
- 析构
（2）语义集
第一条公理的意思是：如果用b构造出了a，那么凡是与b相等的事物，现在也都会与a相等。
第二条公理的意思是：如果把b赋给了a，那么凡是与b相等的事物，现在也都会与a相等。
第三条公理用到了正则函数，这种函数能够根据相等的输入值而产生相等的输出值。
（3）复杂度
Regular对复杂度所提出的要求是：每项操作的复杂度都不能比该对象所在区域内的线性操作更高。
这个区域是指对象所占据的全部空间，它既包括头部，又包括远程部分，既包括数据，又包括连接器。
2，半正则Semiregular
半正则与正则类似，只是没有明确定义等价测试操作而已。
在很难实现等价谓词的场合，就需要用到这个concept。然而即便在这种情况下，我们还是会认为，值之间是有相等关系的，只不过没有明确定义出来而已。
这种预设使得与拷贝及赋值有关的那些公理（即正则的三条公理）依然能够成立。
五，迭代器
迭代器也是一种类型属性。迭代器可以理解为一种能够在线性时间内执行线性搜索的东西，可以视为广义的指针。
1，操作集
- 常规类型所应支持的操作
- 移动到后继位置的操作
- 解引用操作
2，迭代器必须是正则的
因为我们有时想知道，某个迭代器有没有赶上另外一个迭代器。
3，迭代器的分类
输入迭代器：支持单向遍历，只能遍历一轮（如输入流的迭代器）
前向迭代器：支持单向遍历，可以遍历多轮（如链表的~）
双向迭代器：支持双向遍历，可以遍历多轮
随机访问迭代器：可以用在需要进行随机访问的算法中
输出迭代器：可以交替执行移动到后继位置（++）与解引用（*）这两种操作
链式迭代器：可以用在后继函数可变的场合中
分段迭代器：可以用在数据存储于多个不连续区段的场合中
六，区间
数学里面有4种区间：开区间、闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间
编程中只用到两种：闭区间、左闭右开区间
区间有两种表示方式：一种叫做双界区间，另一种叫做计数区间
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